Theorem pfxid 13727

Description: A word is a prefix of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13553	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2		nn0fz0 12692	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
3	1, 2	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		pfxf 13723	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
5	3, 4	mpdan 679	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
6	5	ffnd 6257	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
7		wrdfn 13548	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
8		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
9	3	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
10		simpr 478	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		pfxfv 13725	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1491	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
13	6, 7, 12	eqfnfvd 6540	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  ℕ₀cn0 11580  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  ♯chash 13370  Word cword 13534   prefix cpfx 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-substr 13665  df-pfx 13714

This theorem is referenced by:  pfxcctswrd  13757  wrdeqs1cat  13773  pfxccatpfx2  13802  swrdccat3b  13806  pfxccatid  13808  splid  13828  splval2  13836  cshw0  13879  efgredleme  18470  efgredlemc  18472  efgcpbllemb  18483  frgpuplem  18500  wrdsplex  31135