Theorem pfxid 14496

Description: A word is a prefix of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14337	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2		nn0fz0 13456	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		pfxf 14492	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
5	3, 4	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
6	5	ffnd 6653	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
7		wrdfn 14332	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
8		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
9	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
10		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		pfxfv 14494	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
13	6, 7, 12	eqfnfvd 6969	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973  ℕ₀cn0 12335  ...cfz 13341  ..^cfzo 13484  ♯chash 14146  Word cword 14318   prefix cpfx 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-hash 14147  df-word 14319  df-substr 14453  df-pfx 14483

This theorem is referenced by:  pfxcctswrd  14522  wrdeqs1cat  14532  pfxccatpfx2  14549  swrdccat3b  14552  pfxccatid  14553  splid  14565  splval2  14569  cshw0  14606  efgredleme  19445  efgredlemc  19447  efgcpbllemb  19457  frgpuplem  19474  wrdsplex  31499