Theorem pfxid 14746

Description: A word is a prefix of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14590	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2		nn0fz0 13672	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
3	1, 2	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		pfxf 14742	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
5	3, 4	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
6	5	ffnd 6713	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
7		wrdfn 14585	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
8		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
9	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		pfxfv 14744	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
13	6, 7, 12	eqfnfvd 7035	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   prefix cpfx 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-substr 14701  df-pfx 14733

This theorem is used by:  pfxcctswrd  14771  wrdeqs1cat  14781  pfxccatpfx2  14798  swrdccat3b  14801  pfxccatid  14802  splid  14814  splval2  14818  cshw0  14857  efgredleme  19844  efgredlemc  19846  efgcpbllemb  19856  frgpuplem  19873  wrdsplex  33293