Theorem pfxid 14666

Description: A word is a prefix of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14515	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2		nn0fz0 13631	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		pfxf 14662	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
5	3, 4	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)):(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
6	5	ffnd 6723	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
7		wrdfn 14510	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
8		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
9	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		pfxfv 14664	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix (♯‘𝑆))‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
13	6, 7, 12	eqfnfvd 7043	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  ℕ₀cn0 12502  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  ♯chash 14321  Word cword 14496   prefix cpfx 14652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-substr 14623  df-pfx 14653

This theorem is referenced by:  pfxcctswrd  14692  wrdeqs1cat  14702  pfxccatpfx2  14719  swrdccat3b  14722  pfxccatid  14723  splid  14735  splval2  14739  cshw0  14776  efgredleme  19697  efgredlemc  19699  efgcpbllemb  19709  frgpuplem  19726  wrdsplex  32661