Theorem wwlksnexthasheq 29885

Description: The number of the extensions of a walk (as word) by an edge equals the number of vertices being connected to the trailing vertex of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Revised by AV, 27-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnexthasheq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlksnexthasheq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnexthasheq	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘{𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}) = (♯‘{𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑤   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem wwlksnexthasheq

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7403	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∈ V
2	1	rabex 5289	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)} ∈ V
3		wwlksnexthasheq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		wwlksnexthasheq.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	wwlksnextbij 29884	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}–1-1-onto→{𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸})
6		hasheqf1oi 14295	. 2 ⊢ ({𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}–1-1-onto→{𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸} → (♯‘{𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}) = (♯‘{𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸})))
7	2, 5, 6	mpsyl 68	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘{𝑤 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}) = (♯‘{𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444  {cpr 4587  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  1c1 11048   + caddc 11050  ♯chash 14274  lastSclsw 14506   prefix cpfx 14614  Vtxcvtx 28978  Edgcedg 29029   WWalksN cwwlksn 29808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-n0 12422  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12931  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-hash 14275  df-word 14458  df-lsw 14507  df-concat 14515  df-s1 14540  df-substr 14585  df-pfx 14615  df-wwlks 29812  df-wwlksn 29813

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlks  29956