Theorem wwlksnndef 28947

Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnndef	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wwlksnndef

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4325	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlknbp 28884	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4		nnel 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∉ V ↔ 𝐺 ∈ V)
5		nnel 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	anbi12i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
7	6	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
9		ioran 982	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
10	8, 9	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
12	11	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
13	1, 12	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
14	13	con4i 114	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3045  Vcvv 3459  ∅c0 4302  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℕ₀cn0 12437  Word cword 14429  Vtxcvtx 28044   WWalksN cwwlksn 28868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-wwlks 28872  df-wwlksn 28873

This theorem is referenced by:  wwlksnfi  28948