Theorem wwlksnndef 29886

Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnndef	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wwlksnndef

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4311	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlknbp 29823	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4		nnel 3039	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∉ V ↔ 𝐺 ∈ V)
5		nnel 3039	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
7	6	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
9		ioran 985	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
10	8, 9	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
12	11	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
13	1, 12	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
14	13	con4i 114	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  Vcvv 3444  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12420  Word cword 14456  Vtxcvtx 28977   WWalksN cwwlksn 29807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-hash 14274  df-word 14457  df-wwlks 29811  df-wwlksn 29812

This theorem is referenced by:  wwlksnfi  29887