Theorem wwlksnndef 29426

Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnndef	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wwlksnndef

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4344	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlknbp 29363	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4		nnel 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∉ V ↔ 𝐺 ∈ V)
5		nnel 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	anbi12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
7	6	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
8	7	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
9		ioran 980	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
10	8, 9	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
12	11	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
13	1, 12	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
14	13	con4i 114	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ∉ wnel 3044  Vcvv 3472  ∅c0 4321  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12476  Word cword 14468  Vtxcvtx 28523   WWalksN cwwlksn 29347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352

This theorem is referenced by:  wwlksnfi  29427