Theorem wwlksnndef 28557

Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnndef	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wwlksnndef

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4296	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlknbp 28494	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4		nnel 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∉ V ↔ 𝐺 ∈ V)
5		nnel 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
7	6	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
9		ioran 982	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
10	8, 9	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
12	11	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
13	1, 12	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → ¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
14	13	con4i 114	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3047  Vcvv 3442  ∅c0 4273  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℕ₀cn0 12338  Word cword 14321  Vtxcvtx 27654   WWalksN cwwlksn 28478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-hash 14150  df-word 14322  df-wwlks 28482  df-wwlksn 28483

This theorem is referenced by:  wwlksnfi  28558