Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnfi 27120
 Description: The number of walks represented by words of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem wwlksnfi
Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlksn 27022 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
2 df-rab 3064 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
31, 2syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
43adantl 473 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
5 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75, 6iswwlks 27021 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
98anbi1d 623 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
109abbidv 2884 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
11 3anan12 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1211anbi1i 617 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
13 anass 460 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
1412, 13bitri 266 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
1514abbii 2882 . . . . . . . 8 {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
16 df-rab 3064 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
1715, 16eqtr4i 2790 . . . . . . 7 {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
1810, 17syl6eq 2815 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
194, 18eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
2019adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
21 peano2nn0 11580 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2221adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322anim2i 610 . . . . . . 7 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
2423ancoms 450 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
25 wrdnfi 13519 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin)
27 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
2827rgenw 3071 . . . . . 6 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)(((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
29 ss2rab 3838 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ↔ ∀𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)(((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3028, 29mpbir 222 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)}
31 ssfi 8387 . . . . 5 (({𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)}) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin)
3226, 30, 31sylancl 580 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin)
3320, 32eqeltrd 2844 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
3433ex 401 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
35 wwlksnndef 27119 . . . . 5 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
36 ioran 1006 . . . . . 6 (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0))
37 nnel 3049 . . . . . . 7 𝐺 ∉ V ↔ 𝐺 ∈ V)
38 nnel 3049 . . . . . . 7 𝑁 ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38anbi12i 620 . . . . . 6 ((¬ 𝐺 ∉ V ∧ ¬ 𝑁 ∉ ℕ0) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4036, 39sylbb 210 . . . . 5 (¬ (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4135, 40nsyl4 157 . . . 4 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
42 0fin 8395 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
4342a1i 11 . . . 4 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ Fin)
4441, 43eqeltrd 2844 . . 3 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
4544a1d 25 . 2 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
4634, 45pm2.61i 176 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 873   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  {cab 2751   ≠ wne 2937   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  {cpr 4336  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   − cmin 10520  ℕ0cn0 11538  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13486  Vtxcvtx 26165  Edgcedg 26216  WWalkscwwlks 27010   WWalksN cwwlksn 27011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13487  df-wwlks 27015  df-wwlksn 27016 This theorem is referenced by:  wlksnfi  27121  hashwwlksnext  27134  hashwwlksnextOLD  27135  wspthnfi  27142  wwlksnonfi  27143  rusgrnumwwlks  27199  rusgrnumwwlksOLD  27200  clwwlknclwwlkdifnum  27205  clwwlknclwwlkdifnumOLD  27207
 Copyright terms: Public domain W3C validator