Theorem wwlksnfi 29869

Description: The number of walks represented by words of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem wwlksnfi

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 14473	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
4	3	ss2rabi 4030	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
6	1, 5	ssfid 9170	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin)
7		wwlksn 29800	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
8		df-rab 3397	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
9	7, 8	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
10		3anan12 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
12		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
14	13	abbii 2796	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
15		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
17	15, 16	iswwlks 29799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
19	18	abbii 2796	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
20		df-rab 3397	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
21	14, 19, 20	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
22	9, 21	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
23	22	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ↔ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin))
24	6, 23	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
25		df-nel 3030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ0 ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
26	25	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∉ ℕ0)
27	26	olcd 874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
28		wwlksnndef 29868	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
30		0fi 8974	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
31	29, 30	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
32	31	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
33	24, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438  Vtxcvtx 28959  Edgcedg 29010  WWalkscwwlks 29788   WWalksN cwwlksn 29789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-wwlks 29793  df-wwlksn 29794

This theorem is referenced by:  wlksnfi  29870  hashwwlksnext  29877  wspthnfi  29882  wwlksnonfi  29883  rusgrnumwwlks  29937  clwwlknclwwlkdifnum  29942