Theorem wwlksnfi 29888

Description: The number of walks represented by words of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem wwlksnfi

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 14566	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
4	3	ss2rabi 4052	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
6	1, 5	ssfid 9273	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin)
7		wwlksn 29819	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
8		df-rab 3416	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
9	7, 8	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
10		3anan12 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
12		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
14	13	abbii 2802	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
15		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
17	15, 16	iswwlks 29818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
19	18	abbii 2802	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
20		df-rab 3416	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
21	14, 19, 20	3eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
22	9, 21	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
23	22	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ↔ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin))
24	6, 23	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
25		df-nel 3037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ0 ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
26	25	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∉ ℕ0)
27	26	olcd 874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
28		wwlksnndef 29887	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
30		0fi 9056	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
31	29, 30	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
32	31	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
33	24, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026  WWalkscwwlks 29807   WWalksN cwwlksn 29808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-wwlks 29812  df-wwlksn 29813

This theorem is referenced by:  wlksnfi  29889  hashwwlksnext  29896  wspthnfi  29901  wwlksnonfi  29902  rusgrnumwwlks  29956  clwwlknclwwlkdifnum  29961