Theorem wwlksnfi 27678

Description: The number of walks represented by words of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem wwlksnfi

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 13893	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ∈ Fin)
2		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
3	2	rgenw 3150	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)(((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
4		ss2rab 4046	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} ↔ ∀𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)(((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
5	3, 4	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
7	1, 6	ssfid 8735	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin)
8		wwlksn 27609	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
9		df-rab 3147	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
10	8, 9	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
11		3anan12 1092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
12	11	anbi1i 625	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
13		anass 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
14	12, 13	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))))
15	14	abbii 2886	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
16		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
18	16, 17	iswwlks 27608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
20	19	abbii 2886	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
21		df-rab 3147	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))}
22	15, 20, 21	3eqtr4i 2854	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))}
23	10, 22	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))})
24	23	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ↔ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))} ∈ Fin))
25	7, 24	syl5ibr 248	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
26		df-nel 3124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ0 ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	biimpri 230	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∉ ℕ0)
28	27	olcd 870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0))
29		wwlksnndef 27677	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
31		0fin 8740	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
32	30, 31	eqeltrdi 2921	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
33	32	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin))
34	25, 33	pm2.61i 184	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {cpr 4562  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  ℕ₀cn0 11891  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826  WWalkscwwlks 27597   WWalksN cwwlksn 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603

This theorem is referenced by:  wlksnfi  27680  hashwwlksnext  27687  wspthnfi  27692  wwlksnonfi  27693  rusgrnumwwlks  27747  clwwlknclwwlkdifnum  27752