MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknbp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wwlknbp 29364
Description: Basic properties of a walk of a fixed length (in an undirected graph) as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 9-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 20-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlkbp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wwlknbp (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
Proof of Theorem wwlknbp
Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wwlksn 29353 . . 3 WWalksN = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜π‘”) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑛 + 1)})
21elmpocl 7651 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V))
3 simpl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V))
43ancomd 461 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
5 iswwlksn 29360 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1))))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1))))
7 wwlkbp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
87wwlkbp 29363 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
98simprd 495 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
109adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
116, 10syl6bi 253 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉))
1211imp 406 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
13 df-3an 1088 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
144, 12, 13sylanbrc 582 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
152, 14mpancom 685 1 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11114   + caddc 11116  β„•0cn0 12477  β™―chash 14295  Word cword 14469  Vtxcvtx 28524  WWalkscwwlks 29347   WWalksN cwwlksn 29348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wwlks 29352  df-wwlksn 29353
This theorem is referenced by:  wwlknp  29365  wwlknbp1  29366  wwlkswwlksn  29387  wlklnwwlkln2lem  29404  wwlksnext  29415  wwlksnextwrd  29419  wwlksnextsurj  29422  wwlksnextbij0  29423  wwlksnndef  29427  numclwwlk2lem1  29897
  Copyright terms: Public domain W3C validator