MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco1st 18148
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco1st.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpcco1st.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
xpcco1st.k ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
xpcco1st.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco1st.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
xpcco1st.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
xpcco1st.1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
xpcco1st (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)))

Proof of Theorem xpcco1st
StepHypRef Expression
1 xpcco1st.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpcco1st.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
3 xpcco1st.k . . 3 ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
4 xpcco1st.1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
5 eqid 2726 . . 3 (compโ€˜๐ท) = (compโ€˜๐ท)
6 xpcco1st.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
7 xpcco1st.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 xpcco1st.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
9 xpcco1st.z . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
10 xpcco1st.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
11 xpcco1st.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11xpcco 18147 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ท)(2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
13 ovex 7438 . . 3 ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)) โˆˆ V
14 ovex 7438 . . 3 ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ท)(2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)) โˆˆ V
1513, 14op1std 7984 . 2 ((๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ท)(2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ โ†’ (1st โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)))
1612, 15syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Basecbs 17153  Hom chom 17217  compcco 17218   ร—c cxpc 18132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-xpc 18136
This theorem is referenced by:  1stfcl  18161
  Copyright terms: Public domain W3C validator