MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco 18143
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccofval.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpccofval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
xpccofval.k ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
xpccofval.o1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
xpccofval.o2 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
xpccofval.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
xpcco.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
xpcco.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
xpcco.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
xpcco.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
Assertion
Ref Expression
xpcco (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)

Proof of Theorem xpcco
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpccofval.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpccofval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
3 xpccofval.k . . 3 ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
4 xpccofval.o1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
5 xpccofval.o2 . . 3 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
6 xpccofval.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
71, 2, 3, 4, 5, 6xpccofval 18142 . 2 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ))
8 xpcco.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
9 xpcco.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
108, 9opelxpd 5706 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
11 xpcco.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1211adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
13 ovex 7435 . . . . 5 ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ) โˆˆ V
14 fvex 6895 . . . . 5 (๐พโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
1513, 14mpoex 8060 . . . 4 (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โˆˆ V
1615a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โˆˆ V)
17 xpcco.g . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
1817adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
19 simprl 768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
2019fveq2d 6886 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
21 op2ndg 7982 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
228, 9, 21syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
2420, 23eqtrd 2764 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
25 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
2624, 25oveq12d 7420 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ) = (๐‘Œ๐พ๐‘))
2718, 26eleqtrrd 2828 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ))
28 xpcco.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
3019fveq2d 6886 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฅ) = (๐พโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
31 df-ov 7405 . . . . . . 7 (๐‘‹๐พ๐‘Œ) = (๐พโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
3230, 31eqtr4di 2782 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
3329, 32eleqtrrd 2828 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ))
3433adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐น โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ))
35 opex 5455 . . . . 5 โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ โˆˆ V
3635a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ โˆˆ V)
3719fveq2d 6886 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
38 op1stg 7981 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
398, 9, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
4137, 40eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4342fveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)) = (1st โ€˜๐‘‹))
4424adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
4544fveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = (1st โ€˜๐‘Œ))
4643, 45opeq12d 4874 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
47 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
4847fveq2d 6886 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜๐‘))
4946, 48oveq12d 7420 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘)))
50 simprl 768 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
5150fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
52 simprr 770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
5352fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
5449, 51, 53oveq123d 7423 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)) = ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)))
5542fveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)) = (2nd โ€˜๐‘‹))
5644fveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = (2nd โ€˜๐‘Œ))
5755, 56opeq12d 4874 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ = โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
5847fveq2d 6886 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐‘))
5957, 58oveq12d 7420 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘)))
6050fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘”) = (2nd โ€˜๐บ))
6152fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘“) = (2nd โ€˜๐น))
6259, 60, 61oveq123d 7423 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)))
6354, 62opeq12d 4874 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
6427, 34, 36, 63ovmpodv2 7559 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ((โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ))
6510, 12, 16, 64ovmpodv 7558 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)) โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ))
667, 65mpi 20 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โŸจcop 4627   ร— cxp 5665  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โˆˆ cmpo 7404  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  Basecbs 17149  Hom chom 17213  compcco 17214   ร—c cxpc 18128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-hom 17226  df-cco 17227  df-xpc 18132
This theorem is referenced by:  xpcco1st  18144  xpcco2nd  18145  xpcco2  18147  xpccatid  18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator