MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco 18173
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccofval.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpccofval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
xpccofval.k ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
xpccofval.o1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
xpccofval.o2 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
xpccofval.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
xpcco.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
xpcco.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
xpcco.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
xpcco.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
Assertion
Ref Expression
xpcco (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)

Proof of Theorem xpcco
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpccofval.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpccofval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
3 xpccofval.k . . 3 ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
4 xpccofval.o1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
5 xpccofval.o2 . . 3 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
6 xpccofval.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
71, 2, 3, 4, 5, 6xpccofval 18172 . 2 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ))
8 xpcco.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
9 xpcco.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
108, 9opelxpd 5717 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
11 xpcco.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1211adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
13 ovex 7453 . . . . 5 ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ) โˆˆ V
14 fvex 6910 . . . . 5 (๐พโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
1513, 14mpoex 8084 . . . 4 (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โˆˆ V
1615a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โˆˆ V)
17 xpcco.g . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
1817adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
19 simprl 770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
2019fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
21 op2ndg 8006 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
228, 9, 21syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
2420, 23eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
25 simprr 772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
2624, 25oveq12d 7438 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ) = (๐‘Œ๐พ๐‘))
2718, 26eleqtrrd 2832 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ))
28 xpcco.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
3019fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฅ) = (๐พโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
31 df-ov 7423 . . . . . . 7 (๐‘‹๐พ๐‘Œ) = (๐พโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
3230, 31eqtr4di 2786 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
3329, 32eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ))
3433adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐น โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ))
35 opex 5466 . . . . 5 โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ โˆˆ V
3635a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ โˆˆ V)
3719fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
38 op1stg 8005 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
398, 9, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘‹)
4137, 40eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4342fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)) = (1st โ€˜๐‘‹))
4424adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
4544fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = (1st โ€˜๐‘Œ))
4643, 45opeq12d 4882 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
47 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
4847fveq2d 6901 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜๐‘))
4946, 48oveq12d 7438 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘)))
50 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
5150fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
52 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
5352fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
5449, 51, 53oveq123d 7441 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)) = ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)))
5542fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)) = (2nd โ€˜๐‘‹))
5644fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = (2nd โ€˜๐‘Œ))
5755, 56opeq12d 4882 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ = โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
5847fveq2d 6901 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐‘))
5957, 58oveq12d 7438 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘)))
6050fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘”) = (2nd โ€˜๐บ))
6152fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘“) = (2nd โ€˜๐น))
6259, 60, 61oveq123d 7441 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)))
6354, 62opeq12d 4882 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โˆง (๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
6427, 34, 36, 63ovmpodv2 7579 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ ((โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ) โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ))
6510, 12, 16, 64ovmpodv 7578 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐พ๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐พโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘”)(โŸจ(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (1st โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘ฆ))(1st โ€˜๐‘“)), ((2nd โ€˜๐‘”)(โŸจ(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘ฅ)), (2nd โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘ฆ))(2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)) โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ))
667, 65mpi 20 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3471  โŸจcop 4635   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โˆˆ cmpo 7422  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Basecbs 17179  Hom chom 17243  compcco 17244   ร—c cxpc 18158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-xpc 18162
This theorem is referenced by:  xpcco1st  18174  xpcco2nd  18175  xpcco2  18177  xpccatid  18178
  Copyright terms: Public domain W3C validator