MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco2nd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco2nd 18078
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco1st.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpcco1st.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
xpcco1st.k ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
xpcco1st.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco1st.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
xpcco1st.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
xpcco1st.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
xpcco2nd.1 ยท = (compโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
xpcco2nd (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)))

Proof of Theorem xpcco2nd
StepHypRef Expression
1 xpcco1st.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpcco1st.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘‡)
3 xpcco1st.k . . 3 ๐พ = (Hom โ€˜๐‘‡)
4 eqid 2733 . . 3 (compโ€˜๐ถ) = (compโ€˜๐ถ)
5 xpcco2nd.1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
6 xpcco1st.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
7 xpcco1st.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 xpcco1st.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
9 xpcco1st.z . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
10 xpcco1st.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐พ๐‘Œ))
11 xpcco1st.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐พ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11xpcco 18076 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ถ)(1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
13 ovex 7391 . . 3 ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ถ)(1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)) โˆˆ V
14 ovex 7391 . . 3 ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)) โˆˆ V
1513, 14op2ndd 7933 . 2 ((๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น) = โŸจ((1st โ€˜๐บ)(โŸจ(1st โ€˜๐‘‹), (1st โ€˜๐‘Œ)โŸฉ(compโ€˜๐ถ)(1st โ€˜๐‘))(1st โ€˜๐น)), ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น))โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)))
1612, 15syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘)๐น)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), (2nd โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท (2nd โ€˜๐‘))(2nd โ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4593  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150   ร—c cxpc 18061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-xpc 18065
This theorem is referenced by:  2ndfcl  18091
  Copyright terms: Public domain W3C validator