ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqf1oglem1 GIF version

Theorem seqf1oglem1 10580
Description: Lemma for seqf1og 10582. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqf1o.5 (𝜑𝐶𝑆)
seqf1og.p (𝜑+𝑉)
seqf1olem.5 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
seqf1olem.6 (𝜑𝐺:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐶)
seqf1olem.7 𝐽 = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))
seqf1olem.8 𝐾 = (𝐹‘(𝑁 + 1))
Assertion
Ref Expression
seqf1oglem1 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem seqf1oglem1
StepHypRef Expression
1 seqf1olem.7 . 2 𝐽 = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))
2 seqf1olem.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
3 f1of 5492 . . . . 5 (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
54adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
6 fzelp1 10130 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
76adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
8 fzp1elp1 10131 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
98adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
10 elfzelz 10081 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11 seqf1olem.8 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐹‘(𝑁 + 1))
12 f1ocnv 5505 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
132, 12syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
14 f1of1 5491 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1→(𝑀...(𝑁 + 1)))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1→(𝑀...(𝑁 + 1)))
16 f1f 5451 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1→(𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
18 seqf1o.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
19 peano2uz 9638 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzfz2 10088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2317, 22ffvelcdmd 5686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2411, 23eqeltrid 2280 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2524elfzelzd 10082 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
26 zdclt 9384 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 < 𝐾)
2710, 25, 26syl2anr 290 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑘 < 𝐾)
287, 9, 27ifcldcd 3593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
295, 28ffvelcdmd 5686 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3017adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
31 fzelp1 10130 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3231adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3330, 32ffvelcdmd 5686 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3433elfzelzd 10082 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
35 peano2zm 9345 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ ℤ → ((𝐹𝑥) − 1) ∈ ℤ)
3634, 35syl 14 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑥) − 1) ∈ ℤ)
3725adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
38 zdclt 9384 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑥) < 𝐾)
3934, 37, 38syl2anc 411 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID (𝐹𝑥) < 𝐾)
4034, 36, 39ifcldcd 3593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
41 iftrue 3562 . . . . . . . . 9 (𝑘 < 𝐾 → if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)) = 𝑘)
4241fveq2d 5550 . . . . . . . 8 (𝑘 < 𝐾 → (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) = (𝐹𝑘))
4342eqeq2d 2205 . . . . . . 7 (𝑘 < 𝐾 → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) ↔ 𝑥 = (𝐹𝑘)))
4443adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) ↔ 𝑥 = (𝐹𝑘)))
45 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
465, 7ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4746elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
48 eluzel2 9587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4918, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 uzssz 9602 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5251, 18sselid 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5352adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 fzdcel 10096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
5547, 50, 53, 54syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
5655adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → DECID (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
5710zred 9429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
5857ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑘 ∈ ℝ)
59 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑘 < 𝐾)
6058, 59gtned 8122 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝐾𝑘)
614ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
62 fzssp1 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
63 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6462, 63sselid 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6561, 64ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
66 elfzp1 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹𝑘) = (𝑁 + 1))))
6718, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹𝑘) = (𝑁 + 1))))
6867ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹𝑘) = (𝑁 + 1))))
6965, 68mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹𝑘) = (𝑁 + 1)))
7069ord 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑘) = (𝑁 + 1)))
712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
72 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ((𝐹𝑘) = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝑘))
7371, 64, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → ((𝐹𝑘) = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝑘))
7411eqeq1i 2201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝑘)
7573, 74imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → ((𝐹𝑘) = (𝑁 + 1) → 𝐾 = 𝑘))
7670, 75syld 45 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑘))
7776a1d 22 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (DECID (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑘)))
7877necon1addc 2440 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (DECID (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑘 → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))))
7956, 60, 78mp2d 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
8045, 79eqeltrd 2270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
8145eqcomd 2199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) = 𝑥)
82 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ((𝐹𝑘) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑘))
8371, 64, 82syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → ((𝐹𝑘) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑘))
8481, 83mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
8584, 59eqbrtrd 4051 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝐹𝑥) < 𝐾)
86 iftrue 3562 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) < 𝐾 → if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) = (𝐹𝑥))
8785, 86syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) = (𝐹𝑥))
8887, 84eqtr2d 2227 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))
8980, 88jca 306 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹𝑘))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1))))
9089expr 375 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
9144, 90sylbid 150 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
92 iffalse 3565 . . . . . . . . 9 𝑘 < 𝐾 → if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
9392fveq2d 5550 . . . . . . . 8 𝑘 < 𝐾 → (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
9493eqeq2d 2205 . . . . . . 7 𝑘 < 𝐾 → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) ↔ 𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9594adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) ↔ 𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
96 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
975, 9ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
9897elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
99 fzdcel 10096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
10098, 50, 53, 99syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
101100adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
10225zred 9429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
10457ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
105 peano2re 8145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
106104, 105syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
107 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ¬ 𝑘 < 𝐾)
108103, 104, 107nltled 8130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐾𝑘)
109104ltp1d 8939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
110103, 104, 106, 108, 109lelttrd 8134 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐾 < (𝑘 + 1))
111103, 110ltned 8123 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐾 ≠ (𝑘 + 1))
1124ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
1138ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
114112, 113ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
115 elfzp1 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1))))
11618, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1))))
117116ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1))))
118114, 117mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1)))
119118ord 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (¬ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1)))
1202ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
121 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝑘 + 1)))
122120, 113, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝑘 + 1)))
12311eqeq1i 2201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = (𝑘 + 1) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝑘 + 1))
124122, 123imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑁 + 1) → 𝐾 = (𝑘 + 1)))
125119, 124syld 45 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (¬ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = (𝑘 + 1)))
126125a1d 22 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = (𝑘 + 1))))
127126necon1addc 2440 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ≠ (𝑘 + 1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁))))
128101, 111, 127mp2d 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
12996, 128eqeltrd 2270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
13096eqcomd 2199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑥)
131 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝑘 + 1)))
132120, 113, 131syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝑘 + 1)))
133130, 132mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝑘 + 1))
134133breq1d 4039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹𝑥) < 𝐾 ↔ (𝑘 + 1) < 𝐾))
135 lttr 8083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘 < (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
136104, 106, 103, 135syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑘 < (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
137109, 136mpand 429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑘 + 1) < 𝐾𝑘 < 𝐾))
138134, 137sylbid 150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 < 𝐾))
139107, 138mtod 664 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾)
140 iffalse 3565 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾 → if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) = ((𝐹𝑥) − 1))
141139, 140syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) = ((𝐹𝑥) − 1))
142133oveq1d 5925 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹𝑥) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
143104recnd 8038 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 ax-1cn 7955 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
145 pncan 8215 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
146143, 144, 145sylancl 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
147141, 142, 1463eqtrrd 2231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))
148129, 147jca 306 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ 𝑘 < 𝐾𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1))))
149148expr 375 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
15095, 149sylbid 150 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝐾) → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
151 exmiddc 837 . . . . . 6 (DECID 𝑘 < 𝐾 → (𝑘 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑘 < 𝐾))
15227, 151syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑘 < 𝐾))
15391, 150, 152mpjaodan 799 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
154153expimpd 363 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)))) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
15586eqeq2d 2205 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) < 𝐾 → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) ↔ 𝑘 = (𝐹𝑥)))
156155adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) ↔ 𝑘 = (𝐹𝑥)))
15749ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑀 ∈ ℤ)
158 eluzelz 9591 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
15918, 158syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
160159ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑁 ∈ ℤ)
161 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 = (𝐹𝑥))
16217ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
163 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
16462, 163sselid 3177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
165162, 164ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
166161, 165eqeltrd 2270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
167166elfzelzd 10082 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
168 elfzle1 10083 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑀𝑘)
169166, 168syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑀𝑘)
170167zred 9429 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ)
171102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝐾 ∈ ℝ)
172159peano2zd 9432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
173172zred 9429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
174173ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
175 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) < 𝐾)
176161, 175eqbrtrd 4051 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 < 𝐾)
177 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 + 1))
17824, 177syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≤ (𝑁 + 1))
179178ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝐾 ≤ (𝑁 + 1))
180170, 171, 174, 176, 179ltletrd 8432 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 < (𝑁 + 1))
181 zleltp1 9362 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
182167, 160, 181syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
183180, 182mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘𝑁)
184157, 160, 167, 169, 183elfzd 10072 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
185176, 42syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) = (𝐹𝑘))
186161fveq2d 5550 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐹𝑥)))
1872ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
188 f1ocnvfv2 5813 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
189187, 164, 188syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
190185, 186, 1893eqtrrd 2231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))
191184, 190jca 306 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = (𝐹𝑥))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)))))
192191expr 375 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = (𝐹𝑥) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
193156, 192sylbid 150 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
194140eqeq2d 2205 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾 → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) ↔ 𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1)))
195194adantl 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) ↔ 𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1)))
19649ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
197159ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
198 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))
19917ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶(𝑀...(𝑁 + 1)))
200 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
20162, 200sselid 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
202199, 201ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
203202elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
204203, 35syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ((𝐹𝑥) − 1) ∈ ℤ)
205198, 204eqeltrd 2270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
20649zred 9429 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
207206ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
208102ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
209205zred 9429 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
210 elfzle1 10083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑀𝐾)
21124, 210syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝐾)
212211ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑀𝐾)
213 elfzelz 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
214213adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
215214zred 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
216159zred 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
217216adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
218173adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
219 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥𝑁)
220219adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝑁)
221217ltp1d 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
222215, 217, 218, 220, 221lelttrd 8134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 < (𝑁 + 1))
223215, 222gtned 8122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑥)
224223adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑥)
22515ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1→(𝑀...(𝑁 + 1)))
22622ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
227 f1fveq 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1→(𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝑁 + 1) = 𝑥))
228225, 226, 201, 227syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝑁 + 1) = 𝑥))
229228necon3bid 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝐹𝑥) ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑥))
230224, 229mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝐹𝑥))
23111neeq1i 2379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ≠ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≠ (𝐹𝑥))
232230, 231sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 ≠ (𝐹𝑥))
233232necomd 2450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ≠ 𝐾)
23425ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
235 zapne 9381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) # 𝐾 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝐾))
236203, 234, 235syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ((𝐹𝑥) # 𝐾 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝐾))
237233, 236mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) # 𝐾)
238203zred 9429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
239 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾)
240208, 238, 239nltled 8130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 ≤ (𝐹𝑥))
241208, 238, 240leltapd 8648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐾 < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) # 𝐾))
242237, 241mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 < (𝐹𝑥))
243 zltlem1 9364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐹𝑥) ↔ 𝐾 ≤ ((𝐹𝑥) − 1)))
244234, 203, 243syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐾 < (𝐹𝑥) ↔ 𝐾 ≤ ((𝐹𝑥) − 1)))
245242, 244mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾 ≤ ((𝐹𝑥) − 1))
246245, 198breqtrrd 4057 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐾𝑘)
247207, 208, 209, 212, 246letrd 8133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑀𝑘)
248 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝑁 + 1))
249202, 248syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ≤ (𝑁 + 1))
250216ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
251 1re 8008 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
252 lesubadd 8443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝑁 + 1)))
253251, 252mp3an2 1336 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝑁 + 1)))
254238, 250, 253syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (((𝐹𝑥) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝑁 + 1)))
255249, 254mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ((𝐹𝑥) − 1) ≤ 𝑁)
256198, 255eqbrtrd 4051 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑘𝑁)
257196, 197, 205, 247, 256elfzd 10072 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
258208, 209, 246lensymd 8131 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → ¬ 𝑘 < 𝐾)
259258, 93syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
260198oveq1d 5925 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑘 + 1) = (((𝐹𝑥) − 1) + 1))
261203zcnd 9430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
262 npcan 8218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑥) − 1) + 1) = (𝐹𝑥))
263261, 144, 262sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (((𝐹𝑥) − 1) + 1) = (𝐹𝑥))
264260, 263eqtrd 2226 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑘 + 1) = (𝐹𝑥))
265264fveq2d 5550 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐹𝑥)))
2662ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝑀...(𝑁 + 1)))
267266, 201, 188syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
268259, 265, 2673eqtrrd 2231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))
269257, 268jca 306 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (¬ (𝐹𝑥) < 𝐾𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)))))
270269expr 375 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = ((𝐹𝑥) − 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
271195, 270sylbid 150 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾) → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
272 exmiddc 837 . . . . . 6 (DECID (𝐹𝑥) < 𝐾 → ((𝐹𝑥) < 𝐾 ∨ ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾))
27339, 272syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑥) < 𝐾 ∨ ¬ (𝐹𝑥) < 𝐾))
274193, 271, 273mpjaodan 799 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
275274expimpd 363 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1))))))
276154, 275impbid 129 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝐹‘if(𝑘 < 𝐾, 𝑘, (𝑘 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 = if((𝐹𝑥) < 𝐾, (𝐹𝑥), ((𝐹𝑥) − 1)))))
2771, 29, 40, 276f1od 6113 1 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  wne 2364  wss 3153  ifcif 3557   class class class wbr 4029  cmpt 4090  ccnv 4654  wf 5242  1-1wf1 5243  1-1-ontowf1o 5245  cfv 5246  (class class class)co 5910  cc 7860  cr 7861  1c1 7863   + caddc 7865   < clt 8044  cle 8045  cmin 8180   # cap 8590  cz 9307  cuz 9582  ...cfz 10064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065
This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10581
  Copyright terms: Public domain W3C validator