Theorem gsum2dfi 14273

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2dfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2dfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2dfi.dm	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ Fin)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2dfi.fi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
gsum2dfi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Proof of Theorem gsum2dfi

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2dfi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsum2d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
6		gsum2dfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
7		gsum2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
8		gsum2dfi.dm	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ Fin)
9		gsum2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10		gsum2dfi.fi	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ Fin)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	gsum2dfilem2 14272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
12	7	resmptd 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom 𝐴) = (𝑗 ∈ dom 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
13	12	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
14	1, 2, 3, 9, 10	gsum2dfilem1 14271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 5866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷⟶𝐵)
16		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
17		sneq 3720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → {𝑗} = {𝑞})
18	17	imaeq2d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝐴 “ {𝑗}) = (𝐴 “ {𝑞}))
19		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑗𝐹𝑘) = (𝑞𝐹𝑘))
20	18, 19	mpteq12dv 4214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘)))
21	20	oveq2d 6104	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘))))
22		eldifi 3351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐷)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐷)
24		eldifn 3352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴) → ¬ 𝑞 ∈ dom 𝐴)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → ¬ 𝑞 ∈ dom 𝐴)
26		ndmima 5167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ dom 𝐴 → (𝐴 “ {𝑞}) = ∅)
27	26	mpteq1d 4217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ dom 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑞𝐹𝑘)))
28		mpt0 5514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑞𝐹𝑘)) = ∅
29	27, 28	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ dom 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘)) = ∅)
30	25, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘)) = ∅)
31	30	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg ∅))
32		gsum0cmn 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
34	33, 2	eqtr4di 2289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
35	34	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
36	31, 35	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘))) = 0 )
37	3	cmnmndd 14201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
38	1, 2	mndidcl 13802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → 0 ∈ 𝐵)
41	36, 40	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
42	16, 21, 23, 41	fvmptd3 5802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))‘𝑞) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑞}) ↦ (𝑞𝐹𝑘))))
43	42, 36	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)) → ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))‘𝑞) = 0 )
44	43	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐷 ∖ dom 𝐴)((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))‘𝑞) = 0 )
45	1, 2, 3, 6, 15, 44, 8, 7	gsumresfi 14263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
46	11, 13, 45	3eqtr2d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   ↦ cmpt 4193  dom cdm 4776   ↾ cres 4778   “ cima 4779  Rel wrel 4781  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  Basecbs 13410  0_gc0g 13669  Mndcmnd 13788  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsum2d2fi  14274