Theorem gsumfzsubmcl 13408

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsubmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzsubmcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumfzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumfzsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumfzsubmcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gsumfzsubmcl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzsubmcl.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsumfzsubmcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
8		gsumsubmcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9	1	submss 13048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	fssd 5416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐺))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	gsumfzval 12974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
15	14	iftrued 3564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
16	13, 15	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
17	2	subm0cl 13050	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
18	8, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
20	16, 19	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
21	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
23	22	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24	21, 23	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
25	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
27	25	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	26	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28, 22	nltled 8140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
30		eluz2 9598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	25, 26, 29, 30	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
33	32	ffvelcdmda 5693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
34	8	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
36		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
37	3	submcl 13051	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
39	5, 6	fzfigd 10502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
41	32, 40	fexd 5788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
42		plusgslid 12730	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	4, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	44	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	31, 33, 38, 41, 45	seqclg 10543	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
47	24, 46	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
48		zdclt 9394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
49	6, 5, 48	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
50		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
51	49, 50	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
52	20, 47, 51	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  ifcif 3557   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Fincfn 6794   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867   Σ_g cgsu 12868  Mndcmnd 12997  SubMndcsubmnd 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-submnd 13032

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15188