Theorem gsumfzsubmcl 13986

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsubmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzsubmcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumfzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumfzsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumfzsubmcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gsumfzsubmcl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzsubmcl.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsumfzsubmcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
8		gsumsubmcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9	1	submss 13620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	fssd 5502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐺))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	gsumfzval 13535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
15	14	iftrued 3616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
16	13, 15	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
17	2	subm0cl 13622	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
18	8, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
20	16, 19	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
21	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
23	22	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24	21, 23	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
25	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
27	25	zred 9645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	26	zred 9645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28, 22	nltled 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
30		eluz2 9804	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	25, 26, 29, 30	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
33	32	ffvelcdmda 5790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
34	8	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
36		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
37	3	submcl 13623	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
39	5, 6	fzfigd 10737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
41	32, 40	fexd 5894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
42		plusgslid 13256	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 13170	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	4, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	44	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	31, 33, 38, 41, 45	seqclg 10778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
47	24, 46	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
48		zdclt 9600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
49	6, 5, 48	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
50		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
51	49, 50	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
52	20, 47, 51	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  ifcif 3607   class class class wbr 4093  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ...cfz 10286  seqcseq 10753  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  0_gc0g 13400   Σ_g cgsu 13401  Mndcmnd 13560  SubMndcsubmnd 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-submnd 13604

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15871