Theorem gsumfzsubmcl 13744

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsubmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzsubmcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumfzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumfzsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumfzsubmcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gsumfzsubmcl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumfzsubmcl.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gsumfzsubmcl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
8		gsumsubmcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9	1	submss 13378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	fssd 5447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐺))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	gsumfzval 13293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
15	14	iftrued 3582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
16	13, 15	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
17	2	subm0cl 13380	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
18	8, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
20	16, 19	eqeltrd 2283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
21	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
23	22	iffalsed 3585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24	21, 23	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
25	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
27	25	zred 9510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	26	zred 9510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28, 22	nltled 8208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
30		eluz2 9669	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	25, 26, 29, 30	syl3anbrc 1184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝑆)
33	32	ffvelcdmda 5727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
34	8	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
36		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
37	3	submcl 13381	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
39	5, 6	fzfigd 10593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
41	32, 40	fexd 5826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
42		plusgslid 13014	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	4, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	44	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	31, 33, 38, 41, 45	seqclg 10634	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
47	24, 46	eqeltrd 2283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
48		zdclt 9465	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
49	6, 5, 48	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
50		exmiddc 838	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
51	49, 50	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
52	20, 47, 51	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ifcif 3575   class class class wbr 4050  ⟶wf 5275  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Fincfn 6839   < clt 8122   ≤ cle 8123  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663  ...cfz 10145  seqcseq 10609  Basecbs 12902  +_gcplusg 12979  0_gc0g 13158   Σ_g cgsu 13159  Mndcmnd 13318  SubMndcsubmnd 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-igsum 13161  df-submnd 13362

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15619