Theorem 0cyg 19841

Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0cyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem 0cyg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 18915	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7		0z 12593	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		en1eqsn 9292	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	5, 8	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
10	9	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
11	10	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
12		velsn 4640	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
14	1, 4, 2	mulg0 19023	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
17	13, 16	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	18	rspceeqv 3630	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
20	7, 17, 19	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 2, 3, 6, 20	iscygd 19835	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1_oc1o 8473   ≈ cen 8954  0cc0 11132  ℤcz 12582  Basecbs 17173  0_gc0g 17414  Grpcgrp 18883  ._gcmg 19016  CycGrpccyg 19825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-seq 13993  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-mulg 19017  df-cyg 19826

This theorem is referenced by:  lt6abl  19843  frgpcyg  21500