Theorem 0cyg 19911

Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0cyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem 0cyg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 18983	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7		0z 12624	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		en1eqsn 9308	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	5, 8	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
10	9	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
11	10	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
12		velsn 4642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
14	1, 4, 2	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
17	13, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	18	rspceeqv 3645	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
20	7, 17, 19	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 2, 3, 6, 20	iscygd 19905	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982  0cc0 11155  ℤcz 12613  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  CycGrpccyg 19895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cyg 19896

This theorem is referenced by:  lt6abl  19913  frgpcyg  21592