Theorem 0cyg 19409

Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0cyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem 0cyg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 18522	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		en1eqsn 8977	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	5, 8	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
10	9	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
11	10	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
12		velsn 4574	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
14	1, 4, 2	mulg0 18622	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
17	13, 16	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	18	rspceeqv 3567	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (0(.g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
20	7, 17, 19	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 2, 3, 6, 20	iscygd 19402	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688  0cc0 10802  ℤcz 12249  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  CycGrpccyg 19392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-cyg 19393

This theorem is referenced by:  lt6abl  19411  frgpcyg  20693