Theorem copisnmnd 49539

Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copisnmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
copisnmnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
copisnmnd.n	⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
copisnmnd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copisnmnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		copisnmnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3		copisnmnd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	fvexi 6930	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		hashgt12el2 14609	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
10		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
11	10	rexbii 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12		rexnal 3118	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
13	11, 12	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
14		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
21	14, 15, 17, 18, 20	ovmpod 7604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
24	22, 23	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
25	24	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → 𝐶 = 𝑐))
26	25	ralimdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
27	26	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
28	27	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐))
29		rexnal 3118	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
30	29	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
31	30	ralbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
32		ralnex 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
33		df-ne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
34	33	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
35	34	rexbii 3113	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
36	35	ralbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
37	31, 32, 36	3bitr3i 304	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
38	28, 37	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
39	13, 38	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
40	9, 39	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
41	1, 2, 40	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42		copisnmnd.p	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
43	42	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
44	3, 43	isnmnd 18977	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 → 𝑀 ∉ Mnd)
45	41, 44	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  1c1 11240   < clt 11382  ♯chash 14515  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Mndcmnd 18973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-mnd 18974

This theorem is used by:  cznnring  49632