Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  copisnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem copisnmnd 46189
Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
copisnmnd.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
copisnmnd.c (𝜑𝐶𝐵)
copisnmnd.n (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
Assertion
Ref Expression
copisnmnd (𝜑𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 copisnmnd.c . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
2 copisnmnd.n . . 3 (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3 copisnmnd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
43fvexi 6857 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 ((𝐶𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6 simpr 486 . . . . 5 ((𝐶𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7 simpl 484 . . . . 5 ((𝐶𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶𝐵)
8 hashgt12el2 14329 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶𝐵) → ∃𝑐𝐵 𝐶𝑐)
95, 6, 7, 8syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐶𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐𝐵 𝐶𝑐)
10 df-ne 2941 . . . . . . 7 (𝐶𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
1110rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑐𝐵 𝐶𝑐 ↔ ∃𝑐𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12 rexnal 3100 . . . . . 6 (∃𝑐𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐)
1311, 12bitri 275 . . . . 5 (∃𝑐𝐵 𝐶𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐)
14 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
15 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
191adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐶𝐵)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐶𝐵)
2114, 15, 17, 18, 20ovmpod 7508 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
2422, 23eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
2524ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐𝐶 = 𝑐))
2625ralimdva 3161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐))
2726rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐))
2827con3d 152 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐))
29 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝐵 ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
3029bicomi 223 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐵 ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
3130ralbii 3093 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐵 ¬ ∀𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
32 ralnex 3072 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐵 ¬ ∀𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
33 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐)
3433bicomi 223 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
3534rexbii 3094 . . . . . . . 8 (∃𝑐𝐵 ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
3635ralbii 3093 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐵𝑐𝐵 ¬ (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
3731, 32, 363bitr3i 301 . . . . . 6 (¬ ∃𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
3828, 37syl6ib 251 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ∀𝑐𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
3913, 38biimtrid 241 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑐𝐵 𝐶𝑐 → ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
409, 39syl5 34 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
411, 2, 40mp2and 698 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42 copisnmnd.p . . . 4 (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
4342eqcomi 2742 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g𝑀)
443, 43isnmnd 18565 . 2 (∀𝑎𝐵𝑐𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) ≠ 𝑐𝑀 ∉ Mnd)
4541, 44syl 17 1 (𝜑𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cmpo 7360  1c1 11057   < clt 11194  chash 14236  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Mndcmnd 18561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-mnd 18562
This theorem is referenced by:  cznnring  46340
  Copyright terms: Public domain W3C validator