Theorem copisnmnd 48993

Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copisnmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
copisnmnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
copisnmnd.n	⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
copisnmnd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copisnmnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		copisnmnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3		copisnmnd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		hashgt12el2 14480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
10		df-ne 2961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
11	10	rexbii 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12		rexnal 3119	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
13	11, 12	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
14		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
21	14, 15, 17, 18, 20	ovmpod 7571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
24	22, 23	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
25	24	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → 𝐶 = 𝑐))
26	25	ralimdva 3179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
27	26	rexlimdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
28	27	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐))
29		rexnal 3119	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
30	29	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
31	30	ralbii 3113	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
32		ralnex 3093	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
33		df-ne 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
34	33	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
35	34	rexbii 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
36	35	ralbii 3113	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
37	31, 32, 36	3bitr3i 304	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
38	28, 37	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
39	13, 38	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
40	9, 39	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
41	1, 2, 40	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42		copisnmnd.p	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
43	42	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
44	3, 43	isnmnd 18830	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 → 𝑀 ∉ Mnd)
45	41, 44	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1c1 11118   < clt 11260  ♯chash 14386  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  Mndcmnd 18826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-mnd 18827

This theorem is used by:  cznnring  49086