Theorem copisnmnd 48645

Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copisnmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
copisnmnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
copisnmnd.n	⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
copisnmnd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copisnmnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		copisnmnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3		copisnmnd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		hashgt12el2 14385	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
10		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
11	10	rexbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12		rexnal 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
13	11, 12	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
14		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
21	14, 15, 17, 18, 20	ovmpod 7519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
24	22, 23	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → 𝐶 = 𝑐))
26	25	ralimdva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
27	26	rexlimdva 3138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
28	27	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐))
29		rexnal 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
30	29	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
31	30	ralbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
32		ralnex 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
33		df-ne 2933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
34	33	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
35	34	rexbii 3084	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
36	35	ralbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
37	31, 32, 36	3bitr3i 301	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
38	28, 37	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
39	13, 38	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
40	9, 39	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
41	1, 2, 40	mp2and 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42		copisnmnd.p	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
43	42	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
44	3, 43	isnmnd 18706	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 → 𝑀 ∉ Mnd)
45	41, 44	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1c1 11039   < clt 11179  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  cznnring  48738