Theorem copisnmnd 46845

Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copisnmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
copisnmnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
copisnmnd.n	⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
copisnmnd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copisnmnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		copisnmnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3		copisnmnd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	fvexi 6904	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		hashgt12el2 14387	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
10		df-ne 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
11	10	rexbii 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12		rexnal 3098	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
13	11, 12	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
14		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
21	14, 15, 17, 18, 20	ovmpod 7562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
22	21	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
23		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
24	22, 23	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
25	24	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → 𝐶 = 𝑐))
26	25	ralimdva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
27	26	rexlimdva 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
28	27	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐))
29		rexnal 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
30	29	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
31	30	ralbii 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
32		ralnex 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
33		df-ne 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
34	33	bicomi 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
35	34	rexbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
36	35	ralbii 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
37	31, 32, 36	3bitr3i 300	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
38	28, 37	imbitrdi 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
39	13, 38	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
40	9, 39	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
41	1, 2, 40	mp2and 695	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42		copisnmnd.p	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
43	42	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
44	3, 43	isnmnd 18663	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 → 𝑀 ∉ Mnd)
45	41, 44	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   ∉ wnel 3044  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1c1 11113   < clt 11252  ♯chash 14294  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Mndcmnd 18659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-mnd 18660

This theorem is referenced by:  cznnring  46942