Theorem copisnmnd 46579

Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copisnmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
copisnmnd.p	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
copisnmnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
copisnmnd.n	⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
copisnmnd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem copisnmnd

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copisnmnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		copisnmnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (♯‘𝐵))
3		copisnmnd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	fvexi 6906	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
6		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 < (♯‘𝐵))
7		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		hashgt12el2 14383	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐)
10		df-ne 2942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
11	10	rexbii 3095	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐)
12		rexnal 3101	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶 = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
13	11, 12	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐)
14		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
15		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
16		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
18		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
21	14, 15, 17, 18, 20	ovmpod 7560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
22	21	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
23		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
24	22, 23	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐) → 𝐶 = 𝑐)
25	24	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → 𝐶 = 𝑐))
26	25	ralimdva 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
27	26	rexlimdva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 → ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐))
28	27	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐))
29		rexnal 3101	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
30	29	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
31	30	ralbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
32		ralnex 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
33		df-ne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 ↔ ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐)
34	33	bicomi 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
35	34	rexbii 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
36	35	ralbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ¬ (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
37	31, 32, 36	3bitr3i 301	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝑐 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
38	28, 37	imbitrdi 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 = 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
39	13, 38	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝐶 ≠ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
40	9, 39	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐))
41	1, 2, 40	mp2and 698	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐)
42		copisnmnd.p	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
43	42	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘𝑀)
44	3, 43	isnmnd 18629	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) ≠ 𝑐 → 𝑀 ∉ Mnd)
45	41, 44	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∉ wnel 3047  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1c1 11111   < clt 11248  ♯chash 14290  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  Mndcmnd 18625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-mnd 18626

This theorem is referenced by:  cznnring  46854