MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 29478
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4663 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
760pthonv 29413 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
9 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁))
109breqd 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1928 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4678 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
15 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛))
1615breqd 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1928 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4678 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
22 raleq 3323 . . . . . . 7 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2322raleqbi1dv 3334 . . . . . 6 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423ad2antll 728 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2521, 24mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
266isconngr 29473 . . . . 5 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2726ad2antrl 727 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2825, 27mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
2928ex 414 . 2 (𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
30 snprc 4722 . . 3 (Β¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = βˆ…)
31 eqeq2 2745 . . . . 5 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} ↔ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…))
3231anbi2d 630 . . . 4 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…)))
33 0vconngr 29477 . . . 4 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
3432, 33syl6bi 253 . . 3 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3530, 34sylbi 216 . 2 (Β¬ 𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3629, 35pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Vtxcvtx 28287  PathsOncpthson 29002  ConnGraphcconngr 29470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wlks 28887  df-wlkson 28888  df-trls 28980  df-trlson 28981  df-pths 29004  df-pthson 29006  df-conngr 29471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator