MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 27559
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4427 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2895 . . . . . . . . . 10 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 720 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
760pthonv 27494 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
109breqd 4884 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11102exbidv 2023 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4438 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1312adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 249 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15 oveq1 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
1615breqd 4884 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17162exbidv 2023 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3195 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4438 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2019adantr 474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 249 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22 id 22 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (Vtx‘𝐺) = {𝑁})
23 raleq 3350 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2422, 23raleqbidv 3364 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2524ad2antll 720 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2621, 25mpbird 249 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
276isconngr 27554 . . . . 5 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2827ad2antrl 719 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2926, 28mpbird 249 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
3029ex 403 . 2 (𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
31 snprc 4471 . . 3 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
32 eqeq2 2836 . . . . 5 ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
3332anbi2d 622 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
34 0vconngr 27558 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
3533, 34syl6bi 245 . . 3 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3631, 35sylbi 209 . 2 𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3730, 36pm2.61i 177 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  wral 3117  Vcvv 3414  c0 4144  {csn 4397   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  Vtxcvtx 26294  PathsOncpthson 27016  ConnGraphcconngr 27551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-wlks 26897  df-wlkson 26898  df-trls 26993  df-trlson 26994  df-pths 27018  df-pthson 27020  df-conngr 27552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator