MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 29702
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4662 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
760pthonv 29637 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
9 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁))
109breqd 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1927 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4677 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
15 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛))
1615breqd 5159 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1927 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4677 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
22 raleq 3322 . . . . . . 7 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2322raleqbi1dv 3333 . . . . . 6 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423ad2antll 727 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2521, 24mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
266isconngr 29697 . . . . 5 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2825, 27mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
2928ex 413 . 2 (𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
30 snprc 4721 . . 3 (Β¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = βˆ…)
31 eqeq2 2744 . . . . 5 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} ↔ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…))
3231anbi2d 629 . . . 4 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…)))
33 0vconngr 29701 . . . 4 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
3432, 33syl6bi 252 . . 3 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3530, 34sylbi 216 . 2 (Β¬ 𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3629, 35pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Vtxcvtx 28511  PathsOncpthson 29226  ConnGraphcconngr 29694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wlks 29111  df-wlkson 29112  df-trls 29204  df-trlson 29205  df-pths 29228  df-pthson 29230  df-conngr 29695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator