Theorem 1conngr 30164

Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1conngr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3		eleq2 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
4	3	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
5	2, 4	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	0pthonv 30099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9		oveq2 7349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
10	9	breqd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11	10	2exbidv 1925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
12	11	ralsng 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
14	8, 13	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15		oveq1 7348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
16	15	breqd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17	16	2exbidv 1925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
18	17	ralbidv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	18	ralsng 4626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21	14, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22		raleq 3287	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
23	22	raleqbi1dv 3302	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
24	23	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
25	21, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
26	6	isconngr 30159	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
27	26	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
28	25, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
30		snprc 4668	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
31		eqeq2 2742	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
32	31	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
33		0vconngr 30163	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
34	32, 33	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
35	30, 34	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
36	29, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  Vcvv 3434  ∅c0 4281  {csn 4574   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Vtxcvtx 28967  PathsOncpthson 29683  ConnGraphcconngr 30156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-wlks 29571  df-wlkson 29572  df-trls 29662  df-trlson 29663  df-pths 29685  df-pthson 29687  df-conngr 30157

This theorem is referenced by: (None)