MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 29991
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4658 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2817 . . . . . . . . . 10 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
760pthonv 29926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
9 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁))
109breqd 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1920 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4673 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
15 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛))
1615breqd 5153 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1920 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4673 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
22 raleq 3317 . . . . . . 7 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2322raleqbi1dv 3328 . . . . . 6 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423ad2antll 728 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2521, 24mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
266isconngr 29986 . . . . 5 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2726ad2antrl 727 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2825, 27mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
2928ex 412 . 2 (𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
30 snprc 4717 . . 3 (Β¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = βˆ…)
31 eqeq2 2739 . . . . 5 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} ↔ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…))
3231anbi2d 628 . . . 4 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…)))
33 0vconngr 29990 . . . 4 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
3432, 33biimtrdi 252 . . 3 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3530, 34sylbi 216 . 2 (Β¬ 𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3629, 35pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Vtxcvtx 28796  PathsOncpthson 29515  ConnGraphcconngr 29983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-wlks 29400  df-wlkson 29401  df-trls 29493  df-trlson 29494  df-pths 29517  df-pthson 29519  df-conngr 29984
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator