MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 27967
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4593 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2901 . . . . . . . . . 10 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 259 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
760pthonv 27902 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9 oveq2 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
109breqd 5070 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1921 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4607 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
1312adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 259 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15 oveq1 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
1615breqd 5070 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1921 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3197 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4607 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2019adantr 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 259 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22 raleq 3406 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2322raleqbi1dv 3404 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2423ad2antll 727 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2521, 24mpbird 259 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
266isconngr 27962 . . . . 5 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2825, 27mpbird 259 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
2928ex 415 . 2 (𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
30 snprc 4647 . . 3 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
31 eqeq2 2833 . . . . 5 ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
3231anbi2d 630 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
33 0vconngr 27966 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
3432, 33syl6bi 255 . . 3 ({𝑁} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3530, 34sylbi 219 . 2 𝑁 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
3629, 35pm2.61i 184 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  wral 3138  Vcvv 3495  c0 4291  {csn 4561   class class class wbr 5059  cfv 6350  (class class class)co 7150  Vtxcvtx 26775  PathsOncpthson 27489  ConnGraphcconngr 27959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-wlks 27375  df-wlkson 27376  df-trls 27468  df-trlson 27469  df-pths 27491  df-pthson 27493  df-conngr 27960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator