Theorem 1conngr 30060

Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1conngr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
2	1	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3		eleq2 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
4	3	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
5	2, 4	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	0pthonv 29995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9		oveq2 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
10	9	breqd 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11	10	2exbidv 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
12	11	ralsng 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
14	8, 13	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15		oveq1 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
16	15	breqd 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17	16	2exbidv 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
18	17	ralbidv 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	18	ralsng 4678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21	14, 20	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22		raleq 3312	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
23	22	raleqbi1dv 3323	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
24	23	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
25	21, 24	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
26	6	isconngr 30055	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
27	26	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
28	25, 27	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
29	28	ex 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
30		snprc 4722	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
31		eqeq2 2737	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
32	31	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
33		0vconngr 30059	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
34	32, 33	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
35	30, 34	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
36	29, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Vtxcvtx 28865  PathsOncpthson 29584  ConnGraphcconngr 30052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29469  df-wlkson 29470  df-trls 29562  df-trlson 29563  df-pths 29586  df-pthson 29588  df-conngr 30053

This theorem is referenced by: (None)