Theorem 1conngr 30160

Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1conngr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 4642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑁})
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ {𝑁})
3		eleq2 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
4	3	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
5	2, 4	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	0pthonv 30095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)
9		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁))
10	9	breqd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
11	10	2exbidv 1923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
12	11	ralsng 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
14	8, 13	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
15		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛))
16	15	breqd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
17	16	2exbidv 1923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
18	17	ralbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	18	ralsng 4657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21	14, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
22		raleq 3307	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
23	22	raleqbi1dv 3322	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
24	23	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑁}∀𝑛 ∈ {𝑁}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
25	21, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
26	6	isconngr 30155	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
27	26	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
28	25, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁})) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
30		snprc 4699	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
31		eqeq2 2746	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = {𝑁} ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅))
32	31	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅)))
33		0vconngr 30159	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
34	32, 33	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
35	30, 34	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph))
36	29, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑁}) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3464  ∅c0 4315  {csn 4608   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Vtxcvtx 28960  PathsOncpthson 29679  ConnGraphcconngr 30152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-wlks 29564  df-wlkson 29565  df-trls 29657  df-trlson 29658  df-pths 29681  df-pthson 29683  df-conngr 30153

This theorem is referenced by: (None)