MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngr 29138
Description: A graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
1conngr ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem 1conngr
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidg 4620 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
3 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
43ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
52, 4mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
760pthonv 29073 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝)
9 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁))
109breqd 5116 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
11102exbidv 1927 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1211ralsng 4634 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑁)𝑝))
148, 13mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
15 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛))
1615breqd 5116 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
17162exbidv 1927 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1817ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralsng 4634 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2114, 20mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
22 raleq 3309 . . . . . . 7 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2322raleqbi1dv 3307 . . . . . 6 ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423ad2antll 727 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}βˆ€π‘› ∈ {𝑁}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2521, 24mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
266isconngr 29133 . . . . 5 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2825, 27mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁})) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
2928ex 413 . 2 (𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
30 snprc 4678 . . 3 (Β¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = βˆ…)
31 eqeq2 2748 . . . . 5 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁} ↔ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…))
3231anbi2d 629 . . . 4 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) ↔ (𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…)))
33 0vconngr 29137 . . . 4 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
3432, 33syl6bi 252 . . 3 ({𝑁} = βˆ… β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3530, 34sylbi 216 . 2 (Β¬ 𝑁 ∈ V β†’ ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph))
3629, 35pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜πΊ) = {𝑁}) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3064  Vcvv 3445  βˆ…c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Vtxcvtx 27947  PathsOncpthson 28662  ConnGraphcconngr 29130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-wlks 28547  df-wlkson 28548  df-trls 28640  df-trlson 28641  df-pths 28664  df-pthson 28666  df-conngr 29131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator