Theorem 1to3vfriendship 28546

Description: The friendship theorem for small graphs: In every friendship graph with one, two or three vertices, there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriendship	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem 1to3vfriendship

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3vfriswmgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		3vfriswmgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	1to3vfriswmgr 28545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸)))
4		prcom 4665	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
5	4	eleq1i 2829	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
6	5	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
8	7	ralimi 3086	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
9	8	reximi 3174	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
10	3, 9	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320   FriendGraph cfrgr 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-frgr 28524

This theorem is referenced by:  friendship  28664