Theorem 1to3vfriendship 30340

Description: The friendship theorem for small graphs: In every friendship graph with one, two or three vertices, there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriendship	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem 1to3vfriendship

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3vfriswmgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		3vfriswmgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	1to3vfriswmgr 30339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸)))
4		prcom 4677	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
5	4	eleq1i 2828	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
6	5	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
8	7	ralimi 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
9	8	reximi 3076	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
10	3, 9	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  {ctp 4572  ‘cfv 6490  Vtxcvtx 29053  Edgcedg 29104   FriendGraph cfrgr 30317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255  df-edg 29105  df-umgr 29140  df-usgr 29208  df-frgr 30318

This theorem is referenced by:  friendship  30458