Theorem 1to3vfriendship 30300

Description: The friendship theorem for small graphs: In every friendship graph with one, two or three vertices, there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriendship	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem 1to3vfriendship

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3vfriswmgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		3vfriswmgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	1to3vfriswmgr 30299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸)))
4		prcom 4732	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
5	4	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
6	5	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
8	7	ralimi 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
9	8	reximi 3084	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑤, 𝑥} ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
10	3, 9	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378   ∖ cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630  ‘cfv 6561  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   FriendGraph cfrgr 30277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-umgr 29100  df-usgr 29168  df-frgr 30278

This theorem is referenced by:  friendship  30418