Theorem 1to3vfriswmgr 30371

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   𝐶,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1088	. . 3 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ↔ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
2		3vfriswmgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		3vfriswmgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	1to2vfriswmgr 30370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6		tppreq3 4718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
7	6	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
8		olc 869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})))
10	9, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
11	10	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
12	7, 11	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
13		tpprceq3 4762	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴})
14		tprot 4708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
15	14	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
17		prcom 4691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
18	16, 17	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶})
19	18	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
20		olc 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
21	2, 3	1to2vfriswmgr 30370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
22	20, 21	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
23	22	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
24	19, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
26	25	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
27		tpprceq3 4762	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
28		tpcoma 4709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
29	28	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
30	29	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
31		prcom 4691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
33	32	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
34	8, 4	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
35	34	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
37	33, 36	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
38	27, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
40		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
42	40, 41	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
44	43	anim1ci 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
45		3anass 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
46	44, 45	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
48	47	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
50	49	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
51	48, 50	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
52	51	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
53		df-3an 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
55	54	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
56		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
57	2, 3	3vfriswmgr 30369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
58	46, 55, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
59	58	exp41 434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
60	26, 39, 59	ecase 1034	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
61	12, 60	pm2.61ine 3016	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
62	5, 61	jaoi 858	. . 3 ⊢ (((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
63	1, 62	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
64	63	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  ‘cfv 6500  Vtxcvtx 29085  Edgcedg 29136   FriendGraph cfrgr 30349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-edg 29137  df-umgr 29172  df-usgr 29240  df-frgr 30350

This theorem is referenced by:  1to3vfriendship  30372