MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to3vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to3vfriswmgr 29533
Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to3vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   𝐶,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 df-3or 1089 . . 3 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ↔ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
2 3vfriswmgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 3vfriswmgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 31to2vfriswmgr 29532 . . . . 5 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
54expcom 415 . . . 4 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6 tppreq3 4764 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
76eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
8 olc 867 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
98anim1ci 617 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})))
109, 4syl 17 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1110ex 414 . . . . . 6 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
127, 11syl6bi 253 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
13 tpprceq3 4808 . . . . . . . 8 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴})
14 tprot 4754 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
1514eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
17 prcom 4737 . . . . . . . . . . 11 {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶})
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
20 olc 867 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
212, 31to2vfriswmgr 29532 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
2220, 21sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
2322expcom 415 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
2419, 23syl6bi 253 . . . . . . . 8 ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
2513, 24syl 17 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
2625a1d 25 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
27 tpprceq3 4808 . . . . . . . 8 (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
28 tpcoma 4755 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
2928eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
3029biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
31 prcom 4737 . . . . . . . . . . 11 {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
3332eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
348, 4sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
3534expcom 415 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3635a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐵𝐶 → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3733, 36syl6bi 253 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵𝐶 → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
3827, 37syl 17 . . . . . . 7 (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵𝐶 → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
3938com23 86 . . . . . 6 (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → (𝐵𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
40 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
4240, 41anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
4443anim1ci 617 . . . . . . . . 9 ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
45 3anass 1096 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4847necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
5049necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → 𝐴𝐶)
5148, 50anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
5251anim1i 616 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶))
53 df-3an 1090 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶))
5452, 53sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
56 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
572, 33vfriswmgr 29531 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5846, 55, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5958exp41 436 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶𝐴)) → (𝐵𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
6026, 39, 59ecase 1032 . . . . 5 (𝐵𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
6112, 60pm2.61ine 3026 . . . 4 (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
625, 61jaoi 856 . . 3 (((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
631, 62sylbi 216 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6463impcom 409 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  ∃!wreu 3375  Vcvv 3475  cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  cfv 6544  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   FriendGraph cfrgr 29511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-umgr 28343  df-usgr 28411  df-frgr 29512
This theorem is referenced by:  1to3vfriendship  29534
  Copyright terms: Public domain W3C validator