Theorem 1to3vfriswmgr 29523

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   𝐶,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1089	. . 3 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ↔ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
2		3vfriswmgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		3vfriswmgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	1to2vfriswmgr 29522	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	expcom 415	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6		tppreq3 4763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
7	6	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
8		olc 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})))
10	9, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
11	10	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
12	7, 11	syl6bi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
13		tpprceq3 4807	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴})
14		tprot 4753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
15	14	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
16	15	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
17		prcom 4736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
18	16, 17	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶})
19	18	eqeq2d 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
20		olc 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
21	2, 3	1to2vfriswmgr 29522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
22	20, 21	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
23	22	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
24	19, 23	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
26	25	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
27		tpprceq3 4807	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
28		tpcoma 4754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
29	28	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
30	29	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
31		prcom 4736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
33	32	eqeq2d 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
34	8, 4	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
35	34	expcom 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
37	33, 36	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
38	27, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
40		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
42	40, 41	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
44	43	anim1ci 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
45		3anass 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
46	44, 45	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
47		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
48	47	necomd 2997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
49		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
50	49	necomd 2997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
51	48, 50	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
52	51	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
53		df-3an 1090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
54	52, 53	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
56		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
57	2, 3	3vfriswmgr 29521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
58	46, 55, 56, 57	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
59	58	exp41 436	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
60	26, 39, 59	ecase 1032	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
61	12, 60	pm2.61ine 3026	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
62	5, 61	jaoi 856	. . 3 ⊢ (((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
63	1, 62	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
64	63	impcom 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375  Vcvv 3475   ∖ cdif 3945  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  ‘cfv 6541  Vtxcvtx 28246  Edgcedg 28297   FriendGraph cfrgr 29501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-edg 28298  df-umgr 28333  df-usgr 28401  df-frgr 29502

This theorem is referenced by:  1to3vfriendship  29524