Theorem 1to3vfriswmgr 30896

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   𝐶,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣, ℎ)   𝑋(𝑣, ℎ)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1104	. . 3 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ↔ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
2		3vfriswmgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		3vfriswmgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	1to2vfriswmgr 30895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6		tppreq3 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
7	6	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
8		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
9	8	anim1ci 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})))
10	9, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
11	10	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
12	7, 11	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
13		tpprceq3 4767	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴})
14		tprot 4710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
15	14	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
17		prcom 4693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
18	16, 17	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶})
19	18	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
20		olc 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
21	2, 3	1to2vfriswmgr 30895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
22	20, 21	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
23	22	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
24	19, 23	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
25	13, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
26	25	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
27		tpprceq3 4767	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
28		tpcoma 4711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
29	28	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
30	29	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
31		prcom 4693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
33	32	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
34	8, 4	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
35	34	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
36	35	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
37	33, 36	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
38	27, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
39	38	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
40		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
42	40, 41	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
44	43	anim1ci 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
45		3anass 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
46	44, 45	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
48	47	necomd 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
50	49	necomd 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
51	48, 50	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
52	51	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
53		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
54	52, 53	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
56		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
57	2, 3	3vfriswmgr 30894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
58	46, 55, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
59	58	exp41 440	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
60	26, 39, 59	ecase 1049	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
61	12, 60	pm2.61ine 3042	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
62	5, 61	jaoi 871	. . 3 ⊢ (((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
63	1, 62	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
64	63	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ‘cfv 6547  Vtxcvtx 29589  Edgcedg 29640   FriendGraph cfrgr 30874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-hash 14488  df-edg 29641  df-umgr 29676  df-usgr 29747  df-frgr 30875

This theorem is used by:  1to3vfriendship  30897