MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendship Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem friendship 30332
Description: The friendship theorem: In every finite (nonempty) friendship graph there is a vertex which is adjacent to all other vertices. This is Metamath 100 proof #83. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
friendship.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
friendship ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤

Proof of Theorem friendship
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpr3 1193 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpl 481 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 3 < (♯‘𝑉))
4 friendship.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54friendshipgt3 30331 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . . 3 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
76ex 411 . 2 (3 < (♯‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
8 hashcl 14373 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
9 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
10 hashge1 14406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
1110ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
12 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
13 3re 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
14 lenlt 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (♯‘𝑉)))
1512, 13, 14sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (♯‘𝑉)))
1615biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
2019impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (♯‘𝑉) ≤ 3)
219, 11, 203jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))
2221exp31 418 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))))
238, 22mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3)))
2423impcom 406 . . . . . . 7 (((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))
25 hash1to3 14510 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
26 vex 3466 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
284, 271to3vfriendship 30214 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ V ∧ (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
2926, 28mpan 688 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3029exlimiv 1926 . . . . . . . 8 (∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3130exlimivv 1928 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3224, 25, 313syl 18 . . . . . 6 (((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3332exp31 418 . . . . 5 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
3433com14 96 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
35343imp 1108 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3635com12 32 . 2 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
377, 36pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  cdif 3944  c0 4325  {csn 4633  {cpr 4635  {ctp 4637   class class class wbr 5153  cfv 6554  Fincfn 8974  cr 11157  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  3c3 12320  0cn0 12524  chash 14347  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983   FriendGraph cfrgr 30191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-3o 8498  df-oadd 8500  df-er 8734  df-ec 8736  df-qs 8740  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-reps 14777  df-csh 14797  df-s2 14857  df-s3 14858  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-phi 16768  df-vtx 28934  df-iedg 28935  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-ushgr 28995  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-uspgr 29086  df-usgr 29087  df-fusgr 29253  df-nbgr 29269  df-vtxdg 29403  df-rgr 29494  df-rusgr 29495  df-wlks 29536  df-wlkson 29537  df-trls 29629  df-trlson 29630  df-pths 29653  df-spths 29654  df-pthson 29655  df-spthson 29656  df-wwlks 29764  df-wwlksn 29765  df-wwlksnon 29766  df-wspthsn 29767  df-wspthsnon 29768  df-clwwlk 29915  df-clwwlkn 29958  df-clwwlknon 30021  df-conngr 30120  df-frgr 30192
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator