MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendship Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem friendship 27591
Description: The friendship theorem: In every finite (nonempty) friendship graph there is a vertex which is adjacent to all other vertices. This is Metamath 100 proof #83. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
friendship.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
friendship ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤

Proof of Theorem friendship
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1233 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpr3 1237 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpl 468 . . . 4 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 3 < (♯‘𝑉))
4 friendship.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54friendshipgt3 27590 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
61, 2, 3, 5syl3anc 1476 . . 3 ((3 < (♯‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
76ex 397 . 2 (3 < (♯‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
8 hashcl 13342 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
9 simplr 752 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
10 hashge1 13373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
1110ad2ant2l 740 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
12 nn0re 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
13 3re 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
14 lenlt 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (♯‘𝑉)))
1512, 13, 14sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (♯‘𝑉)))
1615biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) ≤ 3))
2019impcom 394 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (♯‘𝑉) ≤ 3)
219, 11, 203jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))
2221exp31 406 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))))
238, 22mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3)))
2423impcom 394 . . . . . . 7 (((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3))
25 hash1to3 13468 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
26 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
27 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
284, 271to3vfriendship 27456 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ V ∧ (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
2926, 28mpan 670 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3029exlimiv 2010 . . . . . . . 8 (∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3130exlimivv 2012 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3224, 25, 313syl 18 . . . . . 6 (((¬ 3 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3332exp31 406 . . . . 5 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
3433com14 96 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
35343imp 1101 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3635com12 32 . 2 (¬ 3 < (♯‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
377, 36pm2.61i 176 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318  {ctp 4320   class class class wbr 4786  cfv 6029  Fincfn 8107  cr 10135  1c1 10137   < clt 10274  cle 10275  3c3 11271  0cn0 11492  chash 13314  Vtxcvtx 26088  Edgcedg 26153   FriendGraph cfrgr 27431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-ac2 9485  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-3o 7713  df-oadd 7715  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-ac 9137  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12145  df-ico 12379  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-word 13488  df-lsw 13489  df-concat 13490  df-s1 13491  df-substr 13492  df-reps 13495  df-csh 13737  df-s2 13795  df-s3 13796  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-phi 15671  df-vtx 26090  df-iedg 26091  df-edg 26154  df-uhgr 26167  df-ushgr 26168  df-upgr 26191  df-umgr 26192  df-uspgr 26260  df-usgr 26261  df-fusgr 26425  df-nbgr 26441  df-vtxdg 26590  df-rgr 26681  df-rusgr 26682  df-wlks 26723  df-wlkson 26724  df-trls 26817  df-trlson 26818  df-pths 26840  df-spths 26841  df-pthson 26842  df-spthson 26843  df-wwlks 26951  df-wwlksn 26952  df-wwlksnon 26953  df-wspthsn 26954  df-wspthsnon 26955  df-clwwlk 27125  df-clwwlkn 27169  df-clwwlknon 27253  df-conngr 27360  df-frgr 27432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator