Theorem 1wlkdlem1 30212

Description: Lemma 1 for 1wlkd 30216. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		1wlkd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3	1, 2	s2cld 14794	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		wrdf 14441	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5		1z 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		fzval3 13650	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0...1) = (0..^(1 + 1))
8		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
9	8	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
10		s1len 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
12	11	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...1)
13		s2len 14812	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14		df-2 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	13, 14	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
16	15	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
17	7, 12, 16	3eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
19	18	feq2d 6646	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
20	4, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
21	3, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
22		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
23	22	feq1i 6653	. 2 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
24	21, 23	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  2c2 12200  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  ⟨“cs1 14519  ⟨“cs2 14764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771

This theorem is referenced by:  1wlkd  30216