Theorem 1wlkdlem1 30123

Description: Lemma 1 for 1wlkd 30127. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		1wlkd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3	1, 2	s2cld 14895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		wrdf 14541	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5		1z 12627	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		fzval3 13755	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0...1) = (0..^(1 + 1))
8		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
9	8	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
10		s1len 14629	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
12	11	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...1)
13		s2len 14913	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14		df-2 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	13, 14	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
16	15	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
17	7, 12, 16	3eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
19	18	feq2d 6697	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
20	4, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
21	3, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
22		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
23	22	feq1i 6702	. 2 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
24	21, 23	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  2c2 12300  ℤcz 12593  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536  ⟨“cs1 14618  ⟨“cs2 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872

This theorem is referenced by:  1wlkd  30127