Theorem 1wlkdlem1 30733

Description: Lemma 1 for 1wlkd 30737. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		1wlkd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3	1, 2	s2cld 15026	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		wrdf 14666	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5		1z 12729	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		fzval3 13872	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0...1) = (0..^(1 + 1))
8		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
9	8	fveq2i 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
10		s1len 14756	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
11	9, 10	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
12	11	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...1)
13		s2len 15044	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14		df-2 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	13, 14	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
16	15	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
17	7, 12, 16	3eqtr4i 2793	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
19	18	feq2d 6693	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
20	4, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
21	3, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
22		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
23	22	feq1i 6700	. 2 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
24	21, 23	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206  2c2 12400  ℤcz 12696  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  ⟨“cs1 14745  ⟨“cs2 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003

This theorem is used by:  1wlkd  30737