Theorem 1wlkdlem1 30758

Description: Lemma 1 for 1wlkd 30762. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		1wlkd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3	1, 2	s2cld 15050	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		wrdf 14690	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5		1z 12753	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		fzval3 13896	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0...1) = (0..^(1 + 1))
8		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
9	8	fveq2i 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
10		s1len 14780	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
11	9, 10	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
12	11	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...1)
13		s2len 15068	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14		df-2 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
16	15	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
17	7, 12, 16	3eqtr4i 2796	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
19	18	feq2d 6715	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
20	4, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
21	3, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
22		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
23	22	feq1i 6722	. 2 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
24	21, 23	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  2c2 12424  ℤcz 12720  ...cfz 13666  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  Word cword 14685  ⟨“cs1 14769  ⟨“cs2 15020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027

This theorem is used by:  1wlkd  30762