Theorem s2cld 14401

Description: A doubleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
s2cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
s2cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Proof of Theorem s2cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14378	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s2cld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3	2	s1cld 14125	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4		s2cld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
5	1, 3, 4	cats1cld 14385	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  Word cword 14034  ⟨“cs1 14117  ⟨“cs2 14371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-s2 14378

This theorem is referenced by:  s3cld  14402  s2cl  14408  s3co  14451  psgnunilem2  18841  efglem  19060  efgtf  19066  efgtlen  19070  efginvrel2  19071  efgredleme  19087  efgredlemc  19089  efgcpbllemb  19099  frgpuplem  19116  frgpnabllem1  19212  1wlkdlem1  28174  wlk2v2elem1  28192  s2rn  30892  cycpm2tr  31059  cycpm2cl  31060  cyc2fv1  31061  cyc2fv2  31062  cycpmco2  31073  cyc2fvx  31074  cyc3co2  31080  cyc3genpmlem  31091  cyc3genpm  31092  cyc3conja  31097  lmat22lem  31435  lmat22e11  31436  lmat22e12  31437  lmat22e21  31438  lmat22e22  31439  lmat22det  31440  fib0  32032  fib1  32033  fibp1  32034  gsumws3  41426  amgm2d  41428  amgmw2d  46122