Theorem s2cld 13903

Description: A doubleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
s2cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
s2cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Proof of Theorem s2cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 13880	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s2cld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3	2	s1cld 13577	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4		s2cld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
5	1, 3, 4	cats1cld 13887	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2155  Word cword 13489  ⟨“cs1 13569  ⟨“cs2 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545  df-s1 13570  df-s2 13880

This theorem is referenced by:  s3cld  13904  s2cl  13910  s3co  13953  pfx2  13979  psgnunilem2  18182  efglem  18396  efgtf  18402  efgtlen  18406  efginvrel2  18407  efgredleme  18424  efgredlemc  18426  efgcpbllemb  18437  frgpuplem  18454  frgpnabllem1  18545  1wlkdlem1  27418  wlk2v2elem1  27436  lmat22lem  30333  lmat22e11  30334  lmat22e12  30335  lmat22e21  30336  lmat22e22  30337  lmat22det  30338  fib0  30912  fib1  30913  fibp1  30914  gsumws3  39176  amgm2d  39178  amgmw2d  43225