Theorem s2cld 14858

Description: A doubleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
s2cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
s2cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Proof of Theorem s2cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14835	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s2cld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3	2	s1cld 14589	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4		s2cld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
5	1, 3, 4	cats1cld 14842	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Word cword 14500  ⟨“cs1 14581  ⟨“cs2 14828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835

This theorem is referenced by:  s3cld  14859  s2cl  14865  s3co  14908  psgnunilem2  19462  efglem  19683  efgtf  19689  efgtlen  19693  efginvrel2  19694  efgredleme  19710  efgredlemc  19712  efgcpbllemb  19722  frgpuplem  19739  frgpnabllem1  19840  1wlkdlem1  30019  wlk2v2elem1  30037  s2rn  32754  cycpm2tr  32932  cycpm2cl  32933  cyc2fv1  32934  cyc2fv2  32935  cycpmco2  32946  cyc2fvx  32947  cyc3co2  32953  cyc3genpmlem  32964  cyc3genpm  32965  cyc3conja  32970  lmat22lem  33549  lmat22e11  33550  lmat22e12  33551  lmat22e21  33552  lmat22e22  33553  lmat22det  33554  fib0  34150  fib1  34151  fibp1  34152  gsumws3  43768  amgm2d  43770  amgmw2d  48423