Theorem 2clwwlk2 30949

Description: The set (𝑋𝐶2) of double loops of length 2 on a vertex 𝑋 is equal to the set of closed walks with length 2 on 𝑋. Considered as "double loops", the first of the two closed walks/loops is degenerated, i.e., has length 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2022.) (Revised by AV, 20-Apr-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
2clwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem 2clwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12728	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12980	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
4		2clwwlk.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
5	4	2clwwlk 30948	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋})
6	3, 5	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋})
7		2cn 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	subidi 11629	. . . . 5 ⊢ (2 − 2) = 0
9	8	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝑤‘(2 − 2)) = (𝑤‘0)
10		isclwwlknon 30682	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
11	10	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑤‘0) = 𝑋)
12	9, 11	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋)
13	12	rabeqc 3425	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋} = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)
14	6, 13	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11200   − cmin 11541  2c2 12397  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965   ClWWalksN cclwwlkn 30615  ClWWalksNOncclwwlknon 30678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-clwwlk 30573  df-clwwlkn 30616  df-clwwlknon 30679

This theorem is used by: (None)