MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2clwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2clwwlk2 29334
Description: The set (𝑋𝐢2) of double loops of length 2 on a vertex 𝑋 is equal to the set of closed walks with length 2 on 𝑋. Considered as "double loops", the first of the two closed walks/loops is degenerated, i.e., has length 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2022.) (Revised by AV, 20-Apr-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋𝐢2) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem 2clwwlk2
StepHypRef Expression
1 2z 12542 . . . 4 2 ∈ β„€
2 uzid 12785 . . . 4 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
4 2clwwlk.c . . . 4 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
542clwwlk 29333 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢2) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∣ (π‘€β€˜(2 βˆ’ 2)) = 𝑋})
63, 5mpan2 690 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋𝐢2) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∣ (π‘€β€˜(2 βˆ’ 2)) = 𝑋})
7 2cn 12235 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
87subidi 11479 . . . . 5 (2 βˆ’ 2) = 0
98fveq2i 6850 . . . 4 (π‘€β€˜(2 βˆ’ 2)) = (π‘€β€˜0)
10 isclwwlknon 29077 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ↔ (𝑀 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋))
1110simprbi 498 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) β†’ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
129, 11eqtrid 2789 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) β†’ (π‘€β€˜(2 βˆ’ 2)) = 𝑋)
1312rabeqc 3422 . 2 {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∣ (π‘€β€˜(2 βˆ’ 2)) = 𝑋} = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)
146, 13eqtrdi 2793 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋𝐢2) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  0cc0 11058   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   ClWWalksN cclwwlkn 29010  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator