Theorem 2clwwlk2 30281

Description: The set (𝑋𝐶2) of double loops of length 2 on a vertex 𝑋 is equal to the set of closed walks with length 2 on 𝑋. Considered as "double loops", the first of the two closed walks/loops is degenerated, i.e., has length 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2022.) (Revised by AV, 20-Apr-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
2clwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem 2clwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12646	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12889	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
4		2clwwlk.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
5	4	2clwwlk 30280	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋})
6	3, 5	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋})
7		2cn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	subidi 11581	. . . . 5 ⊢ (2 − 2) = 0
9	8	fveq2i 6904	. . . 4 ⊢ (𝑤‘(2 − 2)) = (𝑤‘0)
10		isclwwlknon 30024	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
11	10	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑤‘0) = 𝑋)
12	9, 11	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋)
13	12	rabeqc 3432	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∣ (𝑤‘(2 − 2)) = 𝑋} = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)
14	6, 13	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶2) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  0cc0 11158   − cmin 11494  2c2 12319  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874   ClWWalksN cclwwlkn 29957  ClWWalksNOncclwwlknon 30020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-clwwlk 29915  df-clwwlkn 29958  df-clwwlknon 30021

This theorem is referenced by: (None)