Theorem 2exp7 17006

Description: Two to the seventh power is 128. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp7	⊢ (2↑7) = ;;128

Proof of Theorem 2exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12204	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
2	1	oveq2i 7366	. . 3 ⊢ (2↑7) = (2↑(6 + 1))
3		2cn 12211	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		6nn0 12413	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		expp1 13982	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (2↑(6 + 1)) = ((2↑6) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2↑(6 + 1)) = ((2↑6) · 2)
7		2exp6 17005	. . . . 5 ⊢ (2↑6) = ;64
8	7	oveq1i 7365	. . . 4 ⊢ ((2↑6) · 2) = (;64 · 2)
9	6, 8	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (2↑(6 + 1)) = (;64 · 2)
10	2, 9	eqtri 2756	. 2 ⊢ (2↑7) = (;64 · 2)
11		2nn0 12409	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		4nn0 12411	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;64 = ;64
14		6t2e12 12702	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
15		4t2e8 12299	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
16	11, 4, 12, 13, 14, 15	decmul1 12662	. 2 ⊢ (;64 · 2) = ;;128
17	10, 16	eqtri 2756	1 ⊢ (2↑7) = ;;128

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  4c4 12193  6c6 12195  7c7 12196  8c8 12197  ℕ₀cn0 12392  ;cdc 12598  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  42218  m7prm  47762