![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 2lgsoddprmlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm 26767. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
2lgsoddprmlem1 | โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข (๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต) โ (๐โ2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2)) | |
2 | 1 | 3ad2ant3 1136 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (๐โ2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2)) |
3 | 2 | oveq1d 7373 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ ((๐โ2) โ 1) = ((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2) โ 1)) |
4 | 3 | oveq1d 7373 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2) โ 1) / 8)) |
5 | zcn 12505 | . . . . 5 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
6 | 5 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ด โ โ) |
7 | zcn 12505 | . . . . 5 โข (๐ต โ โค โ ๐ต โ โ) | |
8 | 7 | adantl 483 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ต โ โ) |
9 | 1cnd 11151 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ 1 โ โ) | |
10 | 8cn 12251 | . . . . . 6 โข 8 โ โ | |
11 | 8re 12250 | . . . . . . 7 โข 8 โ โ | |
12 | 8pos 12266 | . . . . . . 7 โข 0 < 8 | |
13 | 11, 12 | gt0ne0ii 11692 | . . . . . 6 โข 8 โ 0 |
14 | 10, 13 | pm3.2i 472 | . . . . 5 โข (8 โ โ โง 8 โ 0) |
15 | 14 | a1i 11 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (8 โ โ โง 8 โ 0)) |
16 | mulsubdivbinom2 14163 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 1 โ โ) โง (8 โ โ โง 8 โ 0)) โ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) | |
17 | 6, 8, 9, 15, 16 | syl31anc 1374 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) |
18 | 17 | 3adant3 1133 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) |
19 | 4, 18 | eqtrd 2777 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 (class class class)co 7358 โcc 11050 0cc0 11052 1c1 11053 + caddc 11055 ยท cmul 11057 โ cmin 11386 / cdiv 11813 2c2 12209 8c8 12215 โคcz 12500 โcexp 13968 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-4 12219 df-5 12220 df-6 12221 df-7 12222 df-8 12223 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-seq 13908 df-exp 13969 |
This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem2 26760 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |