Theorem 2lgsoddprmlem1 27392

Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm 27400. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
2	1	3ad2ant3 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
3	2	oveq1d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → ((𝑁↑2) − 1) = ((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1))
4	3	oveq1d 7374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8))
5		zcn 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		zcn 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 11135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
10		8cn 12273	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		8re 12272	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
12		8pos 12288	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 8
13	11, 12	gt0ne0ii 11682	. . . . . 6 ⊢ 8 ≠ 0
14	10, 13	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
16		mulsubdivbinom2 14219	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
17	6, 8, 9, 15, 16	syl31anc 1382	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
18	17	3adant3 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
19	4, 18	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039   − cmin 11373   / cdiv 11803  2c2 12231  8c8 12237  ℤcz 12519  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  27393