MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem1 26759
Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm 26767. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต) โ†’ (๐‘โ†‘2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2))
213ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2))
32oveq1d 7373 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) = ((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1))
43oveq1d 7373 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
5 zcn 12505 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12505 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 11151 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10 8cn 12251 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„‚
11 8re 12250 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„
12 8pos 12266 . . . . . . 7 0 < 8
1311, 12gt0ne0ii 11692 . . . . . 6 8 โ‰  0
1410, 13pm3.2i 472 . . . . 5 (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0)
1514a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0))
16 mulsubdivbinom2 14163 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0)) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
176, 8, 9, 15, 16syl31anc 1374 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
18173adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
194, 18eqtrd 2777 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  8c8 12215  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-seq 13908  df-exp 13969
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  26760
  Copyright terms: Public domain W3C validator