MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem1 27328
Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm 27336. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต) โ†’ (๐‘โ†‘2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2))
213ad2ant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = (((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2))
32oveq1d 7429 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) = ((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1))
43oveq1d 7429 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
5 zcn 12585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12585 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 11231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10 8cn 12331 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„‚
11 8re 12330 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„
12 8pos 12346 . . . . . . 7 0 < 8
1311, 12gt0ne0ii 11772 . . . . . 6 8 โ‰  0
1410, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0)
1514a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0))
16 mulsubdivbinom2 14245 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0)) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
176, 8, 9, 15, 16syl31anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
18173adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((((8 ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
194, 18eqtrd 2767 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  8c8 12295  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  27329
  Copyright terms: Public domain W3C validator