MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem1 25676
Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm 25684. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6977 . . . . 5 (𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
213ad2ant3 1115 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
32oveq1d 6985 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → ((𝑁↑2) − 1) = ((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1))
43oveq1d 6985 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8))
5 zcn 11791 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 zcn 11791 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
87adantl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 1cnd 10426 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
10 8cn 11535 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
11 8re 11534 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
12 8pos 11552 . . . . . . 7 0 < 8
1311, 12gt0ne0ii 10969 . . . . . 6 8 ≠ 0
1410, 13pm3.2i 463 . . . . 5 (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)
1514a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
16 mulsubdivbinom2 13430 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
176, 8, 9, 15, 16syl31anc 1353 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
18173adant3 1112 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
194, 18eqtrd 2808 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  cmin 10662   / cdiv 11090  2c2 11488  8c8 11494  cz 11786  cexp 13237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-seq 13178  df-exp 13238
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  25677
  Copyright terms: Public domain W3C validator