MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lgs 26899
Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰กยฑ1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (๐‘ /L 2) (lgs2 26806) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case ๐‘„ = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 16624 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2 2lgslem4 26898 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
4 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2818 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 310 . . . 4 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
10 2prm 16625 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„™
11 prmnn 16607 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
12 dvdsprime 16620 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
14 z2even 16309 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ 2
15 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 โˆฅ 2))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
18 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
19 1nprm 16612 . . . . . . . . . . . . 13 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
2118, 20syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2217, 21jaoi 855 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2413, 23sylbid 239 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2524con3dimp 409 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
26 2z 12590 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2725, 26jctil 520 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2))
28 2lgslem1 26886 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
2928eqcomd 2738 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}))
30 nnoddn2prmb 16742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3130biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
33 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
34 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2))))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 26866 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
3837eqeq1d 2734 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1463 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
40362lgslem2 26887 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค)
41 m1exp1 16315 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
43 2nn 12281 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
44 dvdsval3 16197 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 587 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 26896 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 580 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2734 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0 โ†” if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
50 iffalse 4536 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” 1 = 0))
52 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
53 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5551, 54syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
57 iftrue 4533 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 208 . . . . . . 7 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 304 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 304 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6261expcom 414 . . 3 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
639, 62jaoi 855 . 2 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   < clt 11244   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  7c7 12268  8c8 12269  โ„คcz 12554  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751   mod cmo 13830  โ†‘cexp 14023  โ™ฏchash 14286   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604   /L clgs 26786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-phi 16695  df-pc 16766  df-lgs 26787
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  26908  fmtnoprmfac2lem1  46220  sfprmdvdsmersenne  46257
  Copyright terms: Public domain W3C validator