MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgs 27452
Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime 𝑃 iff 𝑃≡±1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (𝑁 /L 2) (lgs2 27359) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case 𝑄 = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 16729 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2 2lgslem4 27451 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
4 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (2 /L 𝑃) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 311 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
10 2prm 16730 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
11 prmnn 16712 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12 dvdsprime 16725 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
14 z2even 16408 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ 2
15 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
18 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
19 1nprm 16717 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1 ∈ ℙ
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃)
2118, 20biimtrdi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2217, 21jaoi 857 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → 2 ∥ 𝑃))
2413, 23sylbid 240 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 → 2 ∥ 𝑃))
2524con3dimp 408 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
26 2z 12651 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2725, 26jctil 519 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2))
28 2lgslem1 27439 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
2928eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}))
30 nnoddn2prmb 16852 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
3130biimpri 228 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
33 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
34 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2)))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2))))
35 eqid 2736 . . . . . . . 8 (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(𝑃 / 4))
36 eqid 2736 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 27419 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
3837eqeq1d 2738 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1464 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
40362lgslem2 27440 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
41 m1exp1 16414 . . . . . 6 ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
43 2nn 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
44 dvdsval3 16295 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 27449 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2738 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0 ↔ if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50 iffalse 4533 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ 1 = 0))
52 ax-1ne0 11225 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
53 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5551, 54biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
57 iftrue 4530 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 209 . . . . . . 7 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 305 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 305 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6261expcom 413 . . 3 (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
639, 62jaoi 857 . 2 ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  {crab 3435  cdif 3947  ifcif 4524  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  4c4 12324  7c7 12327  8c8 12328  cz 12615  ...cfz 13548  cfl 13831   mod cmo 13910  cexp 14103  chash 14370  cdvds 16291  cprime 16709   /L clgs 27339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-pc 16876  df-lgs 27340
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  27461  fmtnoprmfac2lem1  47558  sfprmdvdsmersenne  47595
  Copyright terms: Public domain W3C validator