Theorem 2lgs 27372

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime 𝑃 iff 𝑃≡±1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (𝑁 /_L 2) (lgs2 27279) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case 𝑄 = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgs	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prm2orodd 16616	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2		2lgslem4 27371	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
4		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 /L 𝑃) = (2 /L 2))
5	4	eqeq1d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (2 /L 2) = 1))
6		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 8) = (2 mod 8))
7	6	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
8	3, 5, 7	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
10		2prm 16617	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		prmnn 16599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12		dvdsprime 16612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
14		z2even 16295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∥ 2
15		breq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
18		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
19		1nprm 16604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
20	19	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃)
21	18, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
22	17, 21	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
23	22	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → 2 ∥ 𝑃))
24	13, 23	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 → 2 ∥ 𝑃))
25	24	con3dimp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
26		2z 12521	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	25, 26	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2))
28		2lgslem1 27359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
29	28	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}))
30		nnoddn2prmb 16739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
31	30	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
33		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
34		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2)))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2))))
35		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(𝑃 / 4))
36		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
37	32, 33, 34, 35, 36	gausslemma2d 27339	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
38	37	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
39	27, 29, 38	mpd3an23 1465	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
40	36	2lgslem2 27360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
41		m1exp1 16301	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
43		2nn 12216	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
44		dvdsval3 16181	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
45	43, 40, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
46	36	2lgslem3 27369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
47	11, 46	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
48	47	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0 ↔ if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49		ax-1 6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50		iffalse 4486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
51	50	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ 1 = 0))
52		ax-1ne0 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
53		eqneqall 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
54	52, 53	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
55	51, 54	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
56	49, 55	pm2.61i 182	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
57		iftrue 4483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
58	56, 57	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
59	58	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
60	45, 48, 59	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
61	39, 42, 60	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
62	61	expcom 413	. . 3 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
63	9, 62	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
64	1, 63	mpcom 38	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  {crab 3397   ∖ cdif 3896  ifcif 4477  {csn 4578  {cpr 4580   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  4c4 12200  7c7 12203  8c8 12204  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ⌊cfl 13708   mod cmo 13787  ↑cexp 13982  ♯chash 14251   ∥ cdvds 16177  ℙcprime 16596   /_L clgs 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-phi 16691  df-pc 16763  df-lgs 27260

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  27381  fmtnoprmfac2lem1  47754  sfprmdvdsmersenne  47791