MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lgs 26910
Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰กยฑ1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (๐‘ /L 2) (lgs2 26817) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case ๐‘„ = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 16628 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2 2lgslem4 26909 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
4 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 311 . . . 4 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
10 2prm 16629 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„™
11 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
12 dvdsprime 16624 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
14 z2even 16313 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ 2
15 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 โˆฅ 2))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
18 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
19 1nprm 16616 . . . . . . . . . . . . 13 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
2118, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2217, 21jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2413, 23sylbid 239 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2524con3dimp 410 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
26 2z 12594 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2725, 26jctil 521 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2))
28 2lgslem1 26897 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
2928eqcomd 2739 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}))
30 nnoddn2prmb 16746 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3130biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2))))
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
36 eqid 2733 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 26877 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
3837eqeq1d 2735 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1464 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
40362lgslem2 26898 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค)
41 m1exp1 16319 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
43 2nn 12285 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
44 dvdsval3 16201 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 26907 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 581 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0 โ†” if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
50 iffalse 4538 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” 1 = 0))
52 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
53 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5551, 54syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
57 iftrue 4535 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 208 . . . . . . 7 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 305 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 305 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6261expcom 415 . . 3 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
639, 62jaoi 856 . 2 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  7c7 12272  8c8 12273  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  26919  fmtnoprmfac2lem1  46234  sfprmdvdsmersenne  46271
  Copyright terms: Public domain W3C validator