MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgs 26758
Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰กยฑ1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (๐‘ /L 2) (lgs2 26665) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case ๐‘„ = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 16568 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2 2lgslem4 26757 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L 2) = 1 โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
4 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (2 mod 8) โˆˆ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 311 . . . 4 (๐‘ƒ = 2 โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
10 2prm 16569 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„™
11 prmnn 16551 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
12 dvdsprime 16564 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1)))
14 z2even 16253 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ 2
15 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 โˆฅ 2))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
18 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
19 1nprm 16556 . . . . . . . . . . . . 13 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
2118, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2217, 21jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 1) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2413, 23sylbid 239 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†’ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
2524con3dimp 410 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
26 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
2725, 26jctil 521 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2))
28 2lgslem1 26745 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
2928eqcomd 2743 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))}))
30 nnoddn2prmb 16686 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3130biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
33 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
34 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ if((๐‘ฆ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฆ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฆ ยท 2))))
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
36 eqid 2737 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 26725 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
3837eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))})) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1464 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1))
40362lgslem2 26746 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค)
41 m1exp1 16259 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))) = 1 โ†” 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))))
43 2nn 12227 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
44 dvdsval3 16141 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 26755 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 581 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) mod 2) = 0 โ†” if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
50 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” 1 = 0))
52 ax-1ne0 11121 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
53 eqneqall 2955 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5551, 54syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (ยฌ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†’ (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
57 iftrue 4493 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 208 . . . . . . 7 (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (if((๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}, 0, 1) = 0 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 305 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 305 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
6261expcom 415 . . 3 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
639, 62jaoi 856 . 2 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  {crab 3408   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  7c7 12214  8c8 12215  โ„คcz 12500  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968  โ™ฏchash 14231   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  26767  fmtnoprmfac2lem1  45765  sfprmdvdsmersenne  45802
  Copyright terms: Public domain W3C validator