Theorem 2lgs 25985

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime 𝑃 iff 𝑃≡±1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (𝑁 /_L 2) (lgs2 25892) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case 𝑄 = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgs	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prm2orodd 16037	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2		2lgslem4 25984	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
4		oveq2 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 /L 𝑃) = (2 /L 2))
5	4	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (2 /L 2) = 1))
6		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 8) = (2 mod 8))
7	6	eleq1d 2899	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
8	3, 5, 7	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
10		2prm 16038	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		prmnn 16020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12		dvdsprime 16033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
13	10, 11, 12	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
14		z2even 15722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∥ 2
15		breq2 5072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
16	14, 15	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
18		eleq1 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
19		1nprm 16025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
20	19	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃)
21	18, 20	syl6bi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
22	17, 21	jaoi 853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
23	22	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → 2 ∥ 𝑃))
24	13, 23	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 → 2 ∥ 𝑃))
25	24	con3dimp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
26		2z 12017	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	25, 26	jctil 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2))
28		2lgslem1 25972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
29	28	eqcomd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}))
30		nnoddn2prmb 16152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
31	30	biimpri 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32	31	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
33		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
34		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2)))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2))))
35		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(𝑃 / 4))
36		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
37	32, 33, 34, 35, 36	gausslemma2d 25952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
38	37	eqeq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
39	27, 29, 38	mpd3an23 1459	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
40	36	2lgslem2 25973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
41		m1exp1 15729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
43		2nn 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
44		dvdsval3 15613	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
45	43, 40, 44	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
46	36	2lgslem3 25982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
47	11, 46	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
48	47	eqeq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0 ↔ if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49		ax-1 6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50		iffalse 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
51	50	eqeq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ 1 = 0))
52		ax-1ne0 10608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
53		eqneqall 3029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
54	52, 53	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
55	51, 54	syl6bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
56	49, 55	pm2.61i 184	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
57		iftrue 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
58	56, 57	impbii 211	. . . . . . 7 ⊢ (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
59	58	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
60	45, 48, 59	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
61	39, 42, 60	3bitrd 307	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
62	61	expcom 416	. . 3 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
63	9, 62	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
64	1, 63	mpcom 38	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  {crab 3144   ∖ cdif 3935  ifcif 4469  {csn 4569  {cpr 4571   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  4c4 11697  7c7 11700  8c8 11701  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163   mod cmo 13240  ↑cexp 13432  ♯chash 13693   ∥ cdvds 15609  ℙcprime 16017   /_L clgs 25872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-prm 16018  df-phi 16105  df-pc 16176  df-lgs 25873

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  25994  fmtnoprmfac2lem1  43735  sfprmdvdsmersenne  43775