Theorem 3cyclfrgrrn1 30082

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐸,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑏,𝑐)   𝐺(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn1

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑧 𝑦 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		3cyclfrgrrn1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn2 30080	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)))
4		necom 2989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
5		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
6	5	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
7	4, 6	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐶 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
10	9	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
11		sneq 4634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑎} = {𝐴})
12	11	difeq2d 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
13		preq1 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑎, 𝑥} = {𝐴, 𝑥})
14	13	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
15	14	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16		neeq1 2998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑥 ↔ 𝐴 ≠ 𝑥))
17	16	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧) ↔ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)))
18	15, 17	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))))
19	18	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))))
20	12, 19	raleqbidv 3337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))))
21	20	rspcv 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))))
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))))
23		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → {𝑥, 𝑧} = {𝑥, 𝐶})
24	23	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸))
25	24	anbi2d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸)))
26		neeq2 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝑥 ≠ 𝐶))
27	26	anbi2d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧) ↔ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
28	25, 27	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))))
29	28	rexbidv 3173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))))
30	29	rspcv 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))))
31	10, 22, 30	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))))
32	1, 2	2pthfrgrrn 30079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸))
33		necom 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴)
34		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝐴))
35	34	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ≠ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
36	33, 35	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
38	37	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
39		sneq 4634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → {𝑢} = {𝐴})
40	39	difeq2d 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑢}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
41		preq1 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → {𝑢, 𝑦} = {𝐴, 𝑦})
42	41	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸))
43	42	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
44	43	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
45	40, 44	raleqbidv 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
46	45	rspcv 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
49		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → {𝑦, 𝑣} = {𝑦, 𝑥})
50	49	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ({𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
51	50	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
52	51	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
53	52	rspcv 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
54	38, 48, 53	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
55		prcom 4732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝐴, 𝑦} = {𝑦, 𝐴}
56	55	eleq1i 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)
57		prcom 4732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
58	57	eleq1i 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
59	56, 58	anbi12ci 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
60		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → {𝐴, 𝑏} = {𝐴, 𝑥})
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
62		preq1 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → {𝑏, 𝑐} = {𝑥, 𝑐})
63	62	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸))
64		biidd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
65	61, 63, 64	3anbi123d 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
66		biidd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
67		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → {𝑥, 𝑐} = {𝑥, 𝑦})
68	67	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69		preq1 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → {𝑐, 𝐴} = {𝑦, 𝐴})
70	69	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
71	66, 68, 70	3anbi123d 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)))
72	65, 71	rspc2ev 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
73	72	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
74	73	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
75	74	3expib 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
76	59, 75	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
78	77	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
79	78	rexlimdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
80	79	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
81	54, 80	syl9 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
82	81	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
83	82	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑥 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
85	84	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
86	85	com15 101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
87	86	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
88	87	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
89	88	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
90	89	com4t 93	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦 ∈ 𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
91	32, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
92	91	com14 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
93	92	rexlimiv 3143	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
94	31, 93	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
95	94	pm2.43a 54	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
96	95	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐶 → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
97	96	com4t 93	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
98	3, 97	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
99	98	3imp 1109	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847   FriendGraph cfrgr 30055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-edg 28848  df-umgr 28883  df-usgr 28951  df-frgr 30056

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn  30083