Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrrn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgrrn1 28174
 Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3cyclfrgrrn1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrrn1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐸,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑏,𝑐)   𝐺(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn1
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑧 𝑦 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrrn1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 3cyclfrgrrn1.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 28172 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)))
4 necom 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
5 eldifsn 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐶𝑉𝐶𝐴))
65simplbi2com 506 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴 → (𝐶𝑉𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
74, 6sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶 → (𝐶𝑉𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉 → (𝐴𝐶𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
98adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
109imp 410 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
11 sneq 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → {𝑎} = {𝐴})
1211difeq2d 4030 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
13 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝐴 → {𝑎, 𝑥} = {𝐴, 𝑥})
1413eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
1514anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16 neeq1 3013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑥𝐴𝑥))
1716anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑥𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝑧)))
1815, 17anbi12d 633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → ((({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
1918rexbidv 3221 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2012, 19raleqbidv 3319 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2120rspcv 3538 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
23 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → {𝑥, 𝑧} = {𝑥, 𝐶})
2423eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸))
2524anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸)))
26 neeq2 3014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → (𝑥𝑧𝑥𝐶))
2726anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝑥𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐶)))
2825, 27anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
2928rexbidv 3221 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
3029rspcv 3538 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) → ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
3110, 22, 30sylsyld 61 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
321, 22pthfrgrrn 28171 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸))
33 necom 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
34 eldifsn 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥𝑉𝑥𝐴))
3534simplbi2com 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3633, 35sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴𝑥𝐴𝑉) → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3837imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
39 sneq 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝐴 → {𝑢} = {𝐴})
4039difeq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑢}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
41 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝐴 → {𝑢, 𝑦} = {𝐴, 𝑦})
4241eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝐴 → ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸))
4342anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝐴 → (({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4443rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝐴 → (∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4540, 44raleqbidv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝐴 → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4645rspcv 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4746adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴𝑥𝐴𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4847adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
49 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑥 → {𝑦, 𝑣} = {𝑦, 𝑥})
5049eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝑥 → ({𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
5150anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5251rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5352rspcv 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5438, 48, 53sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
55 prcom 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝐴, 𝑦} = {𝑦, 𝐴}
5655eleq1i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)
57 prcom 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
5857eleq1i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
5956, 58anbi12ci 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
60 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 = 𝑥 → {𝐴, 𝑏} = {𝐴, 𝑥})
6160eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
62 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 = 𝑥 → {𝑏, 𝑐} = {𝑥, 𝑐})
6362eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸))
64 biidd 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
6561, 63, 643anbi123d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
66 biidd 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
67 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑦 → {𝑥, 𝑐} = {𝑥, 𝑦})
6867eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑦 → {𝑐, 𝐴} = {𝑦, 𝐴})
7069eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
7166, 68, 703anbi123d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑦 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)))
7265, 71rspc2ev 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥𝑉𝑦𝑉 ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
73723expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
7473expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
75743expib 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7659, 75syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7877com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7978rexlimdva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑉 → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
8079com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
8154, 80syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8281exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝑥 → (𝐴𝑉 → (𝑥𝑉 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8382com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑥𝑥𝐶) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8584impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
8685com15 101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑉 → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
8786pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8887com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝑥𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9089com4t 93 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9132, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9291com14 96 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9392rexlimiv 3204 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
9431, 93syl6 35 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9594pm2.43a 54 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
9695ex 416 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9796com4t 93 . . 3 (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
983, 97mpcom 38 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
99983imp 1108 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6339  Vtxcvtx 26893  Edgcedg 26944   FriendGraph cfrgr 28147 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-oadd 8121  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746  df-edg 26945  df-umgr 26980  df-usgr 27048  df-frgr 28148 This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn  28175
 Copyright terms: Public domain W3C validator