Theorem 3oalem3 31608

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem3	⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3	1, 2	chseli 31403	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		r2ex 3166	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
8	6, 7	chseli 31403	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
9		r2ex 3166	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	8, 9	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	5, 10	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
12		elin 3919	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)))
13		4exdistrv 1956	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ ∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
15	1, 6, 2, 7	3oalem2 31607	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
16	15	exlimivv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
17	16	exlimivv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
18	14, 17	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
19	18	ssriv 3939	1 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  (class class class)co 7349   +_ℎ cva 30864   C_ℋ cch 30873   +_ℋ cph 30875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-grpo 30437  df-ablo 30489  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-sh 31151  df-ch 31165  df-shs 31252

This theorem is referenced by:  3oai  31612