Theorem 3oalem3 31869

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem3	⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3	1, 2	chseli 31664	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		r2ex 3201	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
8	6, 7	chseli 31664	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
9		r2ex 3201	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	8, 9	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	5, 10	anbi12i 637	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
12		elin 3922	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)))
13		4exdistrv 1978	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 305	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ ∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
15	1, 6, 2, 7	3oalem2 31868	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
16	15	exlimivv 1954	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
17	16	exlimivv 1954	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
18	14, 17	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
19	18	ssriv 3942	1 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7398   +_ℎ cva 31125   C_ℋ cch 31134   +_ℋ cph 31136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hvcom 31206  ax-hvass 31207  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvdistr1 31213  ax-hvdistr2 31214  ax-hvmul0 31215

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-grpo 30698  df-ablo 30750  df-hvsub 31176  df-hlim 31177  df-sh 31412  df-ch 31426  df-shs 31513

This theorem is referenced by:  3oai  31873