HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  3oalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3oalem3 29453
Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3oalem1.1 𝐵C
3oalem1.2 𝐶C
3oalem1.3 𝑅C
3oalem1.4 𝑆C
Assertion
Ref Expression
3oalem3 ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ⊆ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3oalem1.1 . . . . . . 7 𝐵C
2 3oalem1.3 . . . . . . 7 𝑅C
31, 2chseli 29248 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝑅 𝑣 = (𝑥 + 𝑦))
4 r2ex 3295 . . . . . 6 (∃𝑥𝐵𝑦𝑅 𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)))
53, 4bitri 278 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)))
6 3oalem1.2 . . . . . . 7 𝐶C
7 3oalem1.4 . . . . . . 7 𝑆C
86, 7chseli 29248 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆) ↔ ∃𝑧𝐶𝑤𝑆 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))
9 r2ex 3295 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶𝑤𝑆 𝑣 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)))
108, 9bitri 278 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)))
115, 10anbi12i 629 . . . 4 ((𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆)) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
12 elin 3935 . . . 4 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆)))
13 4exdistrv 1958 . . . 4 (∃𝑥𝑧𝑦𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
1411, 12, 133bitr4i 306 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ↔ ∃𝑥𝑧𝑦𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
151, 6, 2, 73oalem2 29452 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1615exlimivv 1934 . . . 4 (∃𝑦𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1716exlimivv 1934 . . 3 (∃𝑥𝑧𝑦𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1814, 17sylbi 220 . 2 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1918ssriv 3957 1 ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ⊆ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wrex 3134  cin 3918  wss 3919  (class class class)co 7149   + cva 28709   C cch 28718   + cph 28720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-hilex 28788  ax-hfvadd 28789  ax-hvcom 28790  ax-hvass 28791  ax-hv0cl 28792  ax-hvaddid 28793  ax-hfvmul 28794  ax-hvmulid 28795  ax-hvdistr1 28797  ax-hvdistr2 28798  ax-hvmul0 28799
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-grpo 28282  df-ablo 28334  df-hvsub 28760  df-hlim 28761  df-sh 28996  df-ch 29010  df-shs 29097
This theorem is referenced by:  3oai  29457
  Copyright terms: Public domain W3C validator