Theorem 3oalem3 30022

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem3	⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3	1, 2	chseli 29817	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		r2ex 3234	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
8	6, 7	chseli 29817	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
9		r2ex 3234	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	8, 9	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	5, 10	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
12		elin 3908	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)))
13		4exdistrv 1964	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ ∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
15	1, 6, 2, 7	3oalem2 30021	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
16	15	exlimivv 1939	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
17	16	exlimivv 1939	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
18	14, 17	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
19	18	ssriv 3930	1 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  (class class class)co 7271   +_ℎ cva 29278   C_ℋ cch 29287   +_ℋ cph 29289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358  ax-hvcom 29359  ax-hvass 29360  ax-hv0cl 29361  ax-hvaddid 29362  ax-hfvmul 29363  ax-hvmulid 29364  ax-hvdistr1 29366  ax-hvdistr2 29367  ax-hvmul0 29368

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-ltxr 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-grpo 28851  df-ablo 28903  df-hvsub 29329  df-hlim 29330  df-sh 29565  df-ch 29579  df-shs 29666

This theorem is referenced by:  3oai  30026