Theorem 3oalem3 32185

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem3	⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3	1, 2	chseli 31980	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		r2ex 3199	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
8	6, 7	chseli 31980	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
9		r2ex 3199	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
10	8, 9	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
11	5, 10	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
12		elin 3915	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑆)))
13		4exdistrv 1989	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ↔ ∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
15	1, 6, 2, 7	3oalem2 32184	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
16	15	exlimivv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
17	16	exlimivv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
18	14, 17	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
19	18	ssriv 3935	1 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐶 +ℋ 𝑆)) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7409   +_ℎ cva 31441   C_ℋ cch 31450   +_ℋ cph 31452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hvcom 31522  ax-hvass 31523  ax-hv0cl 31524  ax-hvaddid 31525  ax-hfvmul 31526  ax-hvmulid 31527  ax-hvdistr1 31529  ax-hvdistr2 31530  ax-hvmul0 31531

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-grpo 31014  df-ablo 31066  df-hvsub 31492  df-hlim 31493  df-sh 31728  df-ch 31742  df-shs 31829

This theorem is used by:  3oai  32189