Theorem 6even 47051

Description: 6 is an even number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6even	⊢ 6 ∈ Even

Proof of Theorem 6even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12331	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12616	. 2 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		3t2e6 12408	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
4	3	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ 6 = (3 · 2)
5	4	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
6		3cn 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12317	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 12346	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11991	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
10	5, 9	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (6 / 2) = 3
11		3z 12625	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2825	. 2 ⊢ (6 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 46968	. 2 ⊢ (6 ∈ Even ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (6 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 710	1 ⊢ 6 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420   · cmul 11143   / cdiv 11901  2c2 12297  3c3 12298  6c6 12301  ℤcz 12588   Even ceven 46964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-z 12589  df-even 46966

This theorem is referenced by:  7odd  47052  gbowge7  47103  6gbe  47111  11gbo  47115  stgoldbwt  47116  sbgoldbwt  47117  bgoldbtbndlem1  47145