Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  6even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6even 44095
Description: 6 is an even number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
6even 6 ∈ Even

Proof of Theorem 6even
StepHypRef Expression
1 6nn 11721 . . 3 6 ∈ ℕ
21nnzi 12001 . 2 6 ∈ ℤ
3 3t2e6 11798 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
43eqcomi 2833 . . . . 5 6 = (3 · 2)
54oveq1i 7156 . . . 4 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
6 3cn 11713 . . . . 5 3 ∈ ℂ
7 2cn 11707 . . . . 5 2 ∈ ℂ
8 2ne0 11736 . . . . 5 2 ≠ 0
96, 7, 8divcan4i 11381 . . . 4 ((3 · 2) / 2) = 3
105, 9eqtri 2847 . . 3 (6 / 2) = 3
11 3z 12010 . . 3 3 ∈ ℤ
1210, 11eqeltri 2912 . 2 (6 / 2) ∈ ℤ
13 iseven 44012 . 2 (6 ∈ Even ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (6 / 2) ∈ ℤ))
142, 12, 13mpbir2an 710 1 6 ∈ Even
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115  (class class class)co 7146   · cmul 10536   / cdiv 11291  2c2 11687  3c3 11688  6c6 11691  cz 11976   Even ceven 44008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-z 11977  df-even 44010
This theorem is referenced by:  7odd  44096  gbowge7  44147  6gbe  44155  11gbo  44159  stgoldbwt  44160  sbgoldbwt  44161  bgoldbtbndlem1  44189
  Copyright terms: Public domain W3C validator