Theorem 6even 45221

Description: 6 is an even number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6even	⊢ 6 ∈ Even

Proof of Theorem 6even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12108	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12390	. 2 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		3t2e6 12185	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
4	3	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ 6 = (3 · 2)
5	4	oveq1i 7317	. . . 4 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
6		3cn 12100	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12094	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 12123	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11768	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
10	5, 9	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (6 / 2) = 3
11		3z 12399	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2833	. 2 ⊢ (6 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 45138	. 2 ⊢ (6 ∈ Even ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (6 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 709	1 ⊢ 6 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307   · cmul 10922   / cdiv 11678  2c2 12074  3c3 12075  6c6 12078  ℤcz 12365   Even ceven 45134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-z 12366  df-even 45136

This theorem is referenced by:  7odd  45222  gbowge7  45273  6gbe  45281  11gbo  45285  stgoldbwt  45286  sbgoldbwt  45287  bgoldbtbndlem1  45315