Theorem 6gbe 47772

Description: 6 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gbe	⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 6gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6even 47712	. 2 ⊢ 6 ∈ Even
2		3prm 16664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
3		3odd 47709	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
4		gbpart6 47767	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
5	3, 3, 4	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))
6		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
7		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
8		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
9	8	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (6 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 𝑞)))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞))))
11		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
13		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
14	13	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (6 = (3 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 3)))
15	11, 12, 14	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))))
16	10, 15	rspc2ev 3601	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)))
17	2, 2, 5, 16	mp3an 1463	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))
18		isgbe 47752	. 2 ⊢ (6 ∈ GoldbachEven ↔ (6 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))))
19	1, 17, 18	mpbir2an 711	1 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7387   + caddc 11071  3c3 12242  6c6 12245  ℙcprime 16641   Even ceven 47625   Odd codd 47626   GoldbachEven cgbe 47746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-even 47627  df-odd 47628  df-gbe 47749

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  47795