Theorem 6gbe 48276

Description: 6 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gbe	⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 6gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6even 48216	. 2 ⊢ 6 ∈ Even
2		3prm 16658	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
3		3odd 48213	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
4		gbpart6 48271	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
5	3, 3, 4	3pm3.2i 1347	. . 3 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))
6		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
7		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
8		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
9	8	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (6 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 𝑞)))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1445	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞))))
11		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
13		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
14	13	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (6 = (3 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 3)))
15	11, 12, 14	3anbi123d 1445	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))))
16	10, 15	rspc2ev 3575	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)))
17	2, 2, 5, 16	mp3an 1470	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))
18		isgbe 48256	. 2 ⊢ (6 ∈ GoldbachEven ↔ (6 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))))
19	1, 17, 18	mpbir2an 718	1 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  (class class class)co 7360   + caddc 11036  3c3 12232  6c6 12235  ℙcprime 16635   Even ceven 48129   Odd codd 48130   GoldbachEven cgbe 48250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-prm 16636  df-even 48131  df-odd 48132  df-gbe 48253

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  48299