Theorem 6gbe 42429

Description: 6 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gbe	⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 6gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6even 42390	. 2 ⊢ 6 ∈ Even
2		3prm 15737	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
3		3odd 42387	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
4		gbpart6 42424	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
5	3, 3, 4	3pm3.2i 1439	. . 3 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))
6		eleq1 2864	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
7		biidd 254	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
8		oveq1 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
9	8	eqeq2d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (6 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 𝑞)))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1561	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞))))
11		biidd 254	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12		eleq1 2864	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
13		oveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
14	13	eqeq2d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (6 = (3 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 3)))
15	11, 12, 14	3anbi123d 1561	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))))
16	10, 15	rspc2ev 3510	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)))
17	2, 2, 5, 16	mp3an 1586	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))
18		isgbe 42409	. 2 ⊢ (6 ∈ GoldbachEven ↔ (6 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))))
19	1, 17, 18	mpbir2an 703	1 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3088  (class class class)co 6876   + caddc 10225  3c3 11365  6c6 11368  ℙcprime 15716   Even ceven 42307   Odd codd 42308   GoldbachEven cgbe 42403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-dvds 15317  df-prm 15717  df-even 42309  df-odd 42310  df-gbe 42406

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  42452