Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  6gbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6gbe 44108
Description: 6 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gbe 6 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 6gbe
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 6even 44048 . 2 6 ∈ Even
2 3prm 16015 . . 3 3 ∈ ℙ
3 3odd 44045 . . . 4 3 ∈ Odd
4 gbpart6 44103 . . . 4 6 = (3 + 3)
53, 3, 43pm3.2i 1336 . . 3 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))
6 eleq1 2899 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
7 biidd 265 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
8 oveq1 7137 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
98eqeq2d 2832 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (6 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 𝑞)))
106, 7, 93anbi123d 1433 . . . 4 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞))))
11 biidd 265 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (3 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12 eleq1 2899 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
13 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
1413eqeq2d 2832 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (6 = (3 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 3)))
1511, 12, 143anbi123d 1433 . . . 4 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))))
1610, 15rspc2ev 3612 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)))
172, 2, 5, 16mp3an 1458 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))
18 isgbe 44088 . 2 (6 ∈ GoldbachEven ↔ (6 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))))
191, 17, 18mpbir2an 710 1 6 ∈ GoldbachEven
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3127  (class class class)co 7130   + caddc 10517  3c3 11671  6c6 11674  cprime 15992   Even ceven 43961   Odd codd 43962   GoldbachEven cgbe 44082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-dvds 15587  df-prm 15993  df-even 43963  df-odd 43964  df-gbe 44085
This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  44131
  Copyright terms: Public domain W3C validator