Theorem 11gbo 48464

Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
11gbo	⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5e11 12789	. . 3 ⊢ (6 + 5) = ;11
2		6even 48400	. . . 4 ⊢ 6 ∈ Even
3		5odd 48399	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
4		epoo 48392	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . 3 ⊢ (6 + 5) ∈ Odd
6	1, 5	eqeltrri 2866	. 2 ⊢ ;11 ∈ Odd
7		3prm 16752	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		5prm 17168	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		3odd 48397	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
10	9, 9, 3	3pm3.2i 1356	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11		gbpart11 48459	. . . . 5 ⊢ ;11 = ((3 + 3) + 5)
12	10, 11	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))
13		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14	13	3anbi3d 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
16	15	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → (;11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 5)))
17	14, 16	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))))
18	17	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
19	8, 12, 18	mp2an 704	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21	20	3anbi1d 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
23	22	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
24	23	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
25	21, 24	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
26	25	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi2d 1467	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
30	29	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
31	30	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
32	28, 31	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
33	32	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
34	26, 33	rspc2ev 3601	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
35	7, 7, 19, 34	mp3an 1487	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36		isgbo 48442	. 2 ⊢ (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ (;11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
37	6, 35, 36	mpbir2an 723	1 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103  3c3 12296  5c5 12298  6c6 12299  ;cdc 12711  ℙcprime 16729   Even ceven 48313   Odd codd 48314   GoldbachOdd cgbo 48436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-prm 16730  df-even 48315  df-odd 48316  df-gbo 48439

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  48494