Theorem 11gbo 44719

Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
11gbo	⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5e11 12223	. . 3 ⊢ (6 + 5) = ;11
2		6even 44655	. . . 4 ⊢ 6 ∈ Even
3		5odd 44654	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
4		epoo 44647	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . 3 ⊢ (6 + 5) ∈ Odd
6	1, 5	eqeltrri 2849	. 2 ⊢ ;11 ∈ Odd
7		3prm 16104	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		5prm 16514	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		3odd 44652	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
10	9, 9, 3	3pm3.2i 1336	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11		gbpart11 44714	. . . . 5 ⊢ ;11 = ((3 + 3) + 5)
12	10, 11	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))
13		eleq1 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14	13	3anbi3d 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
16	15	eqeq2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → (;11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 5)))
17	14, 16	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))))
18	17	rspcev 3543	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
19	8, 12, 18	mp2an 691	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20		eleq1 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21	20	3anbi1d 1437	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22		oveq1 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
23	22	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
24	23	eqeq2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
25	21, 24	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
26	25	rexbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27		eleq1 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi2d 1438	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29		oveq2 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
30	29	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
31	30	eqeq2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
32	28, 31	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
33	32	rexbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
34	26, 33	rspc2ev 3555	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
35	7, 7, 19, 34	mp3an 1458	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36		isgbo 44697	. 2 ⊢ (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ (;11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
37	6, 35, 36	mpbir2an 710	1 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591  3c3 11743  5c5 11745  6c6 11746  ;cdc 12150  ℙcprime 16081   Even ceven 44568   Odd codd 44569   GoldbachOdd cgbo 44691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-prm 16082  df-even 44570  df-odd 44571  df-gbo 44694

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  44749