Theorem 11gbo 47649

Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
11gbo	⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5e11 12831	. . 3 ⊢ (6 + 5) = ;11
2		6even 47585	. . . 4 ⊢ 6 ∈ Even
3		5odd 47584	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
4		epoo 47577	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . 3 ⊢ (6 + 5) ∈ Odd
6	1, 5	eqeltrri 2841	. 2 ⊢ ;11 ∈ Odd
7		3prm 16741	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		5prm 17156	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		3odd 47582	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
10	9, 9, 3	3pm3.2i 1339	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11		gbpart11 47644	. . . . 5 ⊢ ;11 = ((3 + 3) + 5)
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))
13		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14	13	3anbi3d 1442	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
16	15	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → (;11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 5)))
17	14, 16	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))))
18	17	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
19	8, 12, 18	mp2an 691	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21	20	3anbi1d 1440	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
23	22	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
24	23	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
25	21, 24	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
26	25	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi2d 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
30	29	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
31	30	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
32	28, 31	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
33	32	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
34	26, 33	rspc2ev 3648	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
35	7, 7, 19, 34	mp3an 1461	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36		isgbo 47627	. 2 ⊢ (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ (;11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
37	6, 35, 36	mpbir2an 710	1 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  3c3 12349  5c5 12351  6c6 12352  ;cdc 12758  ℙcprime 16718   Even ceven 47498   Odd codd 47499   GoldbachOdd cgbo 47621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-even 47500  df-odd 47501  df-gbo 47624

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  47679