Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  11gbo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11gbo 42365
Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
11gbo 11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 6p5e11 11821 . . 3 (6 + 5) = 11
2 6even 42322 . . . 4 6 ∈ Even
3 5odd 42321 . . . 4 5 ∈ Odd
4 epoo 42314 . . . 4 ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
52, 3, 4mp2an 683 . . 3 (6 + 5) ∈ Odd
61, 5eqeltrri 2841 . 2 11 ∈ Odd
7 3prm 15702 . . 3 3 ∈ ℙ
8 5prm 16105 . . . 4 5 ∈ ℙ
9 3odd 42319 . . . . . 6 3 ∈ Odd
109, 9, 33pm3.2i 1438 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11 gbpart11 42360 . . . . 5 11 = ((3 + 3) + 5)
1210, 11pm3.2i 462 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))
13 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14133anbi3d 1566 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15 oveq2 6854 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
1615eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → (11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 5)))
1714, 16anbi12d 624 . . . . 5 (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))))
1817rspcev 3462 . . . 4 ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
198, 12, 18mp2an 683 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21203anbi1d 1564 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22 oveq1 6853 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2322oveq1d 6861 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2423eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2521, 24anbi12d 624 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2625rexbidv 3199 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi2d 1565 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29 oveq2 6854 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
3029oveq1d 6861 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
3130eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3228, 31anbi12d 624 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3332rexbidv 3199 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3426, 33rspc2ev 3477 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
357, 7, 19, 34mp3an 1585 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36 isgbo 42343 . 2 (11 ∈ GoldbachOdd ↔ (11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
376, 35, 36mpbir2an 702 1 11 ∈ GoldbachOdd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  (class class class)co 6846  1c1 10194   + caddc 10196  3c3 11333  5c5 11335  6c6 11336  cdc 11746  cprime 15681   Even ceven 42239   Odd codd 42240   GoldbachOdd cgbo 42337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-9 11347  df-n0 11544  df-z 11630  df-dec 11747  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12541  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-dvds 15282  df-prm 15682  df-even 42241  df-odd 42242  df-gbo 42340
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  42395
  Copyright terms: Public domain W3C validator