Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  11gbo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11gbo 47581
Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
11gbo 11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 6p5e11 12827 . . 3 (6 + 5) = 11
2 6even 47517 . . . 4 6 ∈ Even
3 5odd 47516 . . . 4 5 ∈ Odd
4 epoo 47509 . . . 4 ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
52, 3, 4mp2an 691 . . 3 (6 + 5) ∈ Odd
61, 5eqeltrri 2835 . 2 11 ∈ Odd
7 3prm 16735 . . 3 3 ∈ ℙ
8 5prm 17151 . . . 4 5 ∈ ℙ
9 3odd 47514 . . . . . 6 3 ∈ Odd
109, 9, 33pm3.2i 1339 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11 gbpart11 47576 . . . . 5 11 = ((3 + 3) + 5)
1210, 11pm3.2i 470 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))
13 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14133anbi3d 1442 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15 oveq2 7453 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
1615eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → (11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 5)))
1714, 16anbi12d 631 . . . . 5 (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))))
1817rspcev 3631 . . . 4 ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
198, 12, 18mp2an 691 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21203anbi1d 1440 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22 oveq1 7452 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2322oveq1d 7460 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2423eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2521, 24anbi12d 631 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2625rexbidv 3181 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi2d 1441 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29 oveq2 7453 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
3029oveq1d 7460 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
3130eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3228, 31anbi12d 631 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3332rexbidv 3181 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3426, 33rspc2ev 3644 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
357, 7, 19, 34mp3an 1461 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36 isgbo 47559 . 2 (11 ∈ GoldbachOdd ↔ (11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
376, 35, 36mpbir2an 710 1 11 ∈ GoldbachOdd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wrex 3072  (class class class)co 7445  1c1 11181   + caddc 11183  3c3 12345  5c5 12347  6c6 12348  cdc 12754  cprime 16712   Even ceven 47430   Odd codd 47431   GoldbachOdd cgbo 47553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-prm 16713  df-even 47432  df-odd 47433  df-gbo 47556
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  47611
  Copyright terms: Public domain W3C validator