Theorem aspid 19698

Description: The algebraic span of a subalgebra is itself. (spanid 28757 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspid	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem aspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1170	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		aspval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3	2	subrgss 19144	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
4	3	3ad2ant2 1168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
5		aspval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
6		aspval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 2, 6	aspval 19696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
8	1, 4, 7	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
9		3simpc 1186	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿))
10		elin 4025	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ↔ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿))
11	9, 10	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
12		intmin 4719	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = 𝑆)
14	8, 13	eqtrd 2861	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {crab 3121   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∩ cint 4699  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  SubRingcsubrg 19139  LSubSpclss 19295  AssAlgcasa 19677  AlgSpancasp 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-assa 19680  df-asp 19681

This theorem is referenced by:  mplbas2  19838  mplind  19869