Theorem aspid 21895

Description: The algebraic span of a subalgebra is itself. (spanid 31485 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspid	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem aspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		aspval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3	2	subrgss 20590	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
4	3	3ad2ant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
5		aspval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
6		aspval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 2, 6	aspval 21893	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
8	1, 4, 7	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
9		3simpc 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿))
10		elin 3911	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ↔ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿))
11	9, 10	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
12		intmin 4916	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = 𝑆)
14	8, 13	eqtrd 2787	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐴‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404   ∩ cin 3894   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4895  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  SubRingcsubrg 20587  LSubSpclss 20967  AssAlgcasa 21871  AlgSpancasp 21872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-assa 21874  df-asp 21875

This theorem is referenced by:  mplbas2  22064  mplind  22092