MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assamulgscm 21455
Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (π‘Ž Β· 𝑋)↑𝑁 = (π‘Žβ†‘π‘) Γ— (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assamulgscm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assamulgscm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
assamulgscm.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
assamulgscm.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
2 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
8 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
14 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
20 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.gβ€˜π»)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 21453 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 21454 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 12657 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 434 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1112 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 409 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  .gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  AssAlgcasa 21405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-assa 21408
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21831
  Copyright terms: Public domain W3C validator