Theorem assamulgscm 21922

Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscm	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
5	1, 4	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
10	8, 9	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
11	7, 10	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
16	14, 15	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
17	13, 16	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
18	17	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
22	20, 21	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
23	19, 22	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
24	23	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
26		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27		assamulgscm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
28		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30		assamulgscm.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
31		assamulgscm.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32		assamulgscm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
33	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem1 21920	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem2 21921	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
35	34	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
36	6, 12, 18, 24, 33, 35	nn0ind 12715	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
37	36	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38	37	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
39	38	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  ._gcmg 19086  mulGrpcmgp 20138  AssAlgcasa 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mulg 19087  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-assa 21874

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22316