Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscm 20610
 Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐴) = (0 𝐴))
3 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
9 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
15 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝐴) = (𝑁 𝐴))
21 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐹)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 = (.g𝐺)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.g𝐻)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 20608 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 20609 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 12085 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 436 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1108 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 411 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547  ℕ0cn0 11903  Basecbs 16495  Scalarcsca 16580   ·𝑠 cvsca 16581  .gcmg 18237  mulGrpcmgp 19253  AssAlgcasa 20561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-seq 13385  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mulg 18238  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-lmod 19650  df-assa 20564 This theorem is referenced by:  lply1binomsc  20977
 Copyright terms: Public domain W3C validator