MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscm 21922
Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎𝑁) × (𝑋𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s · = ( ·𝑠𝑊)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p = (.g𝐺)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐴) = (0 𝐴))
3 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
9 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
15 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝐴) = (𝑁 𝐴))
21 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐹)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 = (.g𝐺)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.g𝐻)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 21920 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 21921 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 12715 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 432 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1110 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 407 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  0cn0 12528  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  .gcmg 19086  mulGrpcmgp 20138  AssAlgcasa 21871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mulg 19087  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-assa 21874
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22316
  Copyright terms: Public domain W3C validator