Theorem assamulgscm 21866

Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscm	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
5	1, 4	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
10	8, 9	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
11	7, 10	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
16	14, 15	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
17	13, 16	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
18	17	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
22	20, 21	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
23	19, 22	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
24	23	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
26		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27		assamulgscm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
28		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30		assamulgscm.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
31		assamulgscm.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32		assamulgscm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
33	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem1 21864	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem2 21865	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
35	34	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
36	6, 12, 18, 24, 33, 35	nn0ind 12693	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
37	36	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38	37	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
39	38	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  AssAlgcasa 21815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mulg 19056  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-assa 21818

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22254