Theorem assamulgscm 21826

Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscm	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
5	1, 4	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
10	8, 9	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
11	7, 10	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
16	14, 15	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
17	13, 16	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
18	17	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
22	20, 21	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
23	19, 22	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
24	23	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
26		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27		assamulgscm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
28		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30		assamulgscm.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
31		assamulgscm.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32		assamulgscm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
33	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem1 21824	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem2 21825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
35	34	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
36	6, 12, 18, 24, 33, 35	nn0ind 12589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
37	36	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38	37	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
39	38	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  AssAlgcasa 21775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mulg 18965  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-assa 21778

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22214