Theorem assamulgscm 22122

Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscm	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
5	1, 4	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
6	5	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
10	8, 9	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
11	7, 10	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
12	11	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
16	14, 15	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
17	13, 16	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
18	17	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
22	20, 21	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
23	19, 22	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
24	23	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
26		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27		assamulgscm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
28		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30		assamulgscm.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
31		assamulgscm.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32		assamulgscm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
33	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem1 22120	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem2 22121	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
35	34	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
36	6, 12, 18, 24, 33, 35	nn0ind 12720	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
37	36	exp4c 438	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38	37	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
39	38	impcom 413	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  ._gcmg 19196  mulGrpcmgp 20279  AssAlgcasa 22071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mulg 19197  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-assa 22074

This theorem is used by:  lply1binomsc  22542