MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assamulgscm 21320
Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (π‘Ž Β· 𝑋)↑𝑁 = (π‘Žβ†‘π‘) Γ— (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assamulgscm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assamulgscm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
assamulgscm.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
assamulgscm.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
2 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 7365 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
8 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 7365 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
14 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 7365 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
20 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.gβ€˜π»)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 21318 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 21319 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 12603 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 434 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1112 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 409 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  AssAlgcasa 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mulg 18878  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-lmod 20338  df-assa 21275
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21694
  Copyright terms: Public domain W3C validator