Theorem assamulgscm 22215

Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (𝑎 · 𝑋)↑𝑁 = (𝑎↑𝑁) × (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assamulgscm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assamulgscm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assamulgscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assamulgscm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assamulgscm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
assamulgscm.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
assamulgscm.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
assamulgscm.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
assamulgscm	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

Proof of Theorem assamulgscm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 · 𝑋)))
2		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
5	1, 4	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋))))
6	5	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))))
7		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)))
8		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
10	8, 9	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))
11	7, 10	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))))
12	11	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)))))
13		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)))
14		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
16	14, 15	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
17	13, 16	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
18	17	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)))
20		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
22	20, 21	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))
23	19, 22	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
24	23	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑥𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑥 ↑ 𝐴) · (𝑥𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))))
25		assamulgscm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
26		assamulgscm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
27		assamulgscm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
28		assamulgscm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29		assamulgscm.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝐹)
30		assamulgscm.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
31		assamulgscm.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑊)
32		assamulgscm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
33	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem1 22213	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (0𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) · (0𝐸𝑋)))
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	assamulgscmlem2 22214	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋)) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
35	34	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑦𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) · (𝑦𝐸𝑋))) → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) · ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
36	6, 12, 18, 24, 33, 35	nn0ind 12798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ AssAlg) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
37	36	exp4c 438	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))))
38	37	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋))))
39	38	impcom 413	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁𝐸(𝐴 · 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) · (𝑁𝐸𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  ℕ₀cn0 12610  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  ._gcmg 19283  mulGrpcmgp 20366  AssAlgcasa 22164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mulg 19284  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-assa 22167

This theorem is used by:  lply1binomsc  22635