MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assamulgscm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assamulgscm 21461
Description: Exponentiation of a scalar multiplication in an associative algebra: (π‘Ž Β· 𝑋)↑𝑁 = (π‘Žβ†‘π‘) Γ— (𝑋↑𝑁). (Contributed by AV, 26-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assamulgscm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assamulgscm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assamulgscm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assamulgscm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assamulgscm.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
assamulgscm.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
assamulgscm.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
assamulgscm.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
assamulgscm ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
Proof of Theorem assamulgscm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
2 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
3 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (0𝐸𝑋))
42, 3oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
51, 4eqeq12d 2748 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋))))
65imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))))
7 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
8 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
9 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑦𝐸𝑋))
108, 9oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))
117, 10eqeq12d 2748 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))))
1211imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)))))
13 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
14 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
15 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))
1614, 15oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))
1713, 16eqeq12d 2748 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋))))
1817imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
19 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)))
20 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
21 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝑋) = (𝑁𝐸𝑋))
2220, 21oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
2319, 22eqeq12d 2748 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋)) ↔ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
2423imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (π‘₯𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ ↑ 𝐴) Β· (π‘₯𝐸𝑋))) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))))
25 assamulgscm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
26 assamulgscm.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
27 assamulgscm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
28 assamulgscm.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
29 assamulgscm.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜πΉ)
30 assamulgscm.p . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
31 assamulgscm.h . . . . . 6 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
32 assamulgscm.e . . . . . 6 𝐸 = (.gβ€˜π»)
3325, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem1 21459 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (0𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((0 ↑ 𝐴) Β· (0𝐸𝑋)))
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32assamulgscmlem2 21460 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
3534a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑦𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ 𝐴) Β· (𝑦𝐸𝑋))) β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) Β· ((𝑦 + 1)𝐸𝑋)))))
366, 12, 18, 24, 33, 35nn0ind 12659 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ AssAlg) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3736exp4c 433 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))))
38373imp 1111 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ AssAlg β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋))))
3938impcom 408 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁𝐸(𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) Β· (𝑁𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12474  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  .gcmg 18952  mulGrpcmgp 19989  AssAlgcasa 21411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mulg 18953  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-assa 21414
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21838
  Copyright terms: Public domain W3C validator