Theorem isusgrs 29506

Description: The property of being a simple graph, simplified version of isusgr 29503. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isuspgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuspgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isusgrs	⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem isusgrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isuspgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isuspgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgr 29503	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		prprrab 14506	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
5		f1eq3 6771	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
6	4, 5	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
7	3, 6	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  dom cdm 5661  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  2c2 12290  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  USGraphcusgr 29499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-usgr 29501

This theorem is referenced by:  usgrfs  29507  isusgrop  29512  ausgrusgrb  29515  ausgrusgri  29518  usgruspgrb  29533  usgrstrrepe  29585  subusgr  29639  usgrres  29658  usgrres1  29665  isfusgrf1  29670  usgrexi  29791  umgracycusgr  35646  stgrusgra  48724  gpgusgra  48822