Theorem isusgrs 29129

Description: The property of being a simple graph, simplified version of isusgr 29126. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isuspgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuspgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isusgrs	⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem isusgrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isuspgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isuspgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgr 29126	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		prprrab 14375	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
5		f1eq3 6711	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
6	4, 5	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
7	3, 6	bitrd 279	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∖ cdif 3894  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  {csn 4571  dom cdm 5611  –1-1→wf1 6473  ‘cfv 6476  2c2 12175  ♯chash 14232  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  USGraphcusgr 29122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-usgr 29124

This theorem is referenced by:  usgrfs  29130  isusgrop  29135  ausgrusgrb  29138  ausgrusgri  29141  usgruspgrb  29156  usgrstrrepe  29208  subusgr  29262  usgrres  29281  usgrres1  29288  isfusgrf1  29293  usgrexi  29414  umgracycusgr  35190  stgrusgra  47990  gpgusgra  48088