Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isusgrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isusgrs 26947
 Description: The property of being a simple graph, simplified version of isusgr 26944. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isuspgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuspgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isusgrs (𝐺𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem isusgrs
StepHypRef Expression
1 isuspgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isuspgr.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2isusgr 26944 . 2 (𝐺𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4 prprrab 13827 . . 3 {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
5 f1eq3 6553 . . 3 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
64, 5mp1i 13 . 2 (𝐺𝑈 → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
73, 6bitrd 282 1 (𝐺𝑈 → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134   ∖ cdif 3905  ∅c0 4265  𝒫 cpw 4511  {csn 4539  dom cdm 5532  –1-1→wf1 6331  ‘cfv 6334  2c2 11680  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  USGraphcusgr 26940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-usgr 26942 This theorem is referenced by:  usgrfs  26948  isusgrop  26953  ausgrusgrb  26956  ausgrusgri  26959  usgruspgrb  26972  usgrstrrepe  27023  usgrexmpl  27051  subusgr  27077  usgrres  27096  usgrres1  27103  isfusgrf1  27108  usgrexi  27229  umgracycusgr  32475
 Copyright terms: Public domain W3C validator