Theorem btwndiff 36221

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwndiff	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem btwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdim1 29032	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
3		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp12 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp13 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		axsegcon 29000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
10		simpl11 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		simpl13 1251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		cgrdegen 36198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
17		biimp 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝐵 = 𝑐 → 𝑢 = 𝑣))
18	17	necon3d 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝐵 ≠ 𝑐))
19	18	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
20	19	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
22	16, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝐵 ≠ 𝑐))
23	22	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
24	23	reximdva 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
25	9, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
26	25	3exp 1119	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))))
27	26	rexlimdvv 3192	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	2, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℕcn 12145  𝔼cee 28960   Btwn cbtwn 28961  Cgrccgr 28962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-ee 28963  df-btwn 28964  df-cgr 28965

This theorem is referenced by:  ifscgr  36238  cgrxfr  36249  btwnconn3  36297  broutsideof3  36320