Theorem btwndiff 34999

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwndiff	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem btwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdim1 28217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
3		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp12 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp13 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		axsegcon 28185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	syl122anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
10		simpl11 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		simpl13 1251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		cgrdegen 34976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	syl122anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
17		biimp 214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝐵 = 𝑐 → 𝑢 = 𝑣))
18	17	necon3d 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝐵 ≠ 𝑐))
19	18	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
21	20	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
22	16, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝐵 ≠ 𝑐))
23	22	anim2d 613	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
24	23	reximdva 3169	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
25	9, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
26	25	3exp 1120	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))))
27	26	rexlimdvv 3211	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	2, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  ℕcn 12212  𝔼cee 28146   Btwn cbtwn 28147  Cgrccgr 28148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-ee 28149  df-btwn 28150  df-cgr 28151

This theorem is referenced by:  ifscgr  35016  cgrxfr  35027  btwnconn3  35075  broutsideof3  35098