Theorem btwndiff 36050

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwndiff	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem btwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdim1 28943	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
3		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp12 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp13 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		axsegcon 28911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
10		simpl11 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		simpl13 1251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		cgrdegen 36027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
17		biimp 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝐵 = 𝑐 → 𝑢 = 𝑣))
18	17	necon3d 2954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝐵 ≠ 𝑐))
19	18	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
20	19	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
22	16, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝐵 ≠ 𝑐))
23	22	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
24	23	reximdva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
25	9, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
26	25	3exp 1119	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))))
27	26	rexlimdvv 3201	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	2, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  ℕcn 12245  𝔼cee 28872   Btwn cbtwn 28873  Cgrccgr 28874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-ee 28875  df-btwn 28876  df-cgr 28877

This theorem is referenced by:  ifscgr  36067  cgrxfr  36078  btwnconn3  36126  broutsideof3  36149