Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwndiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwndiff 32452
Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwndiff ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem btwndiff
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdim1 26049 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢𝑣)
213ad2ant1 1156 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢𝑣)
3 simp11 1253 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 simp12 1254 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simp13 1255 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 simp2l 1249 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 simp2r 1250 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 axsegcon 26017 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
93, 4, 5, 6, 7, 8syl122anc 1491 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
10 simpl11 1322 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 simpl13 1326 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 simpl2l 1290 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 simpl2r 1292 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 cgrdegen 32429 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣)))
1610, 11, 12, 13, 14, 15syl122anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣)))
17 biimp 206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣) → (𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣))
1817necon3d 2998 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣) → (𝑢𝑣𝐵𝑐))
1918com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑣 → ((𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣) → 𝐵𝑐))
20193ad2ant3 1158 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → ((𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣) → 𝐵𝑐))
2120adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 = 𝑐𝑢 = 𝑣) → 𝐵𝑐))
2216, 21syld 47 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝐵𝑐))
2322anim2d 601 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐)))
2423reximdva 3203 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐)))
259, 24mpd 15 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐))
26253exp 1141 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑢𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐))))
2726rexlimdvv 3224 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐)))
282, 27mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  wne 2977  wrex 3096  cop 4373   class class class wbr 4840  cfv 6098  cn 11302  𝔼cee 25978   Btwn cbtwn 25979  Cgrccgr 25980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-sup 8584  df-oi 8651  df-card 9045  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-ee 25981  df-btwn 25982  df-cgr 25983
This theorem is referenced by:  ifscgr  32469  cgrxfr  32480  btwnconn3  32528  broutsideof3  32551
  Copyright terms: Public domain W3C validator