Theorem btwndiff 36390

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwndiff	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem btwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdim1 29218	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
2	1	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣)
3		simp11 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp12 1221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp13 1222	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp2l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp2r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		axsegcon 29186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	syl122anc 1402	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩))
10		simpl11 1265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		simpl13 1267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl2r 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		cgrdegen 36367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	syl122anc 1402	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣)))
17		biimp 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝐵 = 𝑐 → 𝑢 = 𝑣))
18	17	necon3d 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝐵 ≠ 𝑐))
19	18	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
20	19	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
21	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 = 𝑐 ↔ 𝑢 = 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
22	16, 21	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝐵 ≠ 𝑐))
23	22	anim2d 623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
24	23	reximdva 3178	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑐⟩Cgr⟨𝑢, 𝑣⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
25	9, 24	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
26	25	3exp 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))))
27	26	rexlimdvv 3221	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑢 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑣 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑢 ≠ 𝑣 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	2, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  ℕcn 12224  𝔼cee 29146   Btwn cbtwn 29147  Cgrccgr 29148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-ee 29149  df-btwn 29150  df-cgr 29151

This theorem is referenced by:  ifscgr  36407  cgrxfr  36418  btwnconn3  36466  broutsideof3  36489