Theorem basresposfo 50297

Description: The base function restricted to the class of posets maps the class of posets onto the universal class. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
basresposfo	⊢ (Base ↾ Poset):Poset⟶ontoV

Proof of Theorem basresposfo

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 17420	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		ssv 3937	. . . 4 ⊢ Poset ⊆ V
3		fnssres 6684	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ Poset ⊆ V) → (Base ↾ Poset) Fn Poset)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (Base ↾ Poset) Fn Poset
5		dffn2 6733	. . 3 ⊢ ((Base ↾ Poset) Fn Poset ↔ (Base ↾ Poset):Poset⟶V)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ (Base ↾ Poset):Poset⟶V
7		exbaspos 50295	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ V → ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = (Base‘𝑘))
8		fvres 6927	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ Poset → ((Base ↾ Poset)‘𝑘) = (Base‘𝑘))
9	8	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ Poset → (𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘) ↔ 𝑏 = (Base‘𝑘)))
10	9	rexbiia 3111	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = (Base‘𝑘))
11	7, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ V → ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘))
12	11	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ V ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘)
13		dffo3 7126	. 2 ⊢ ((Base ↾ Poset):Poset⟶ontoV ↔ ((Base ↾ Poset):Poset⟶V ∧ ∀𝑏 ∈ V ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘)))
14	6, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ (Base ↾ Poset):Poset⟶ontoV

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ↾ cres 5657   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ⟶ontowfo 6556  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Posetcpo 18510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ple 17477  df-poset 18516

This theorem is used by:  posnex  50299