Theorem basresposfo 49008

Description: The base function restricted to the class of posets maps the class of posets onto the universal class. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
basresposfo	⊢ (Base ↾ Poset):Poset–onto→V

Proof of Theorem basresposfo

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 17121	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		ssv 3959	. . . 4 ⊢ Poset ⊆ V
3		fnssres 6604	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ Poset ⊆ V) → (Base ↾ Poset) Fn Poset)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (Base ↾ Poset) Fn Poset
5		dffn2 6653	. . 3 ⊢ ((Base ↾ Poset) Fn Poset ↔ (Base ↾ Poset):Poset⟶V)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ (Base ↾ Poset):Poset⟶V
7		exbaspos 49006	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ V → ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = (Base‘𝑘))
8		fvres 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ Poset → ((Base ↾ Poset)‘𝑘) = (Base‘𝑘))
9	8	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ Poset → (𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘) ↔ 𝑏 = (Base‘𝑘)))
10	9	rexbiia 3077	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = (Base‘𝑘))
11	7, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ V → ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘))
12	11	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ V ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘)
13		dffo3 7035	. 2 ⊢ ((Base ↾ Poset):Poset–onto→V ↔ ((Base ↾ Poset):Poset⟶V ∧ ∀𝑏 ∈ V ∃𝑘 ∈ Poset 𝑏 = ((Base ↾ Poset)‘𝑘)))
14	6, 12, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ (Base ↾ Poset):Poset–onto→V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   ↾ cres 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  Posetcpo 18210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ple 17178  df-poset 18216

This theorem is referenced by:  posnex  49010