Theorem clwwlkccat 30078

Description: The concatenation of two words representing closed walks anchored at the same vertex represents a closed walk. The resulting walk is a "double loop", starting at the common vertex, coming back to the common vertex by the first walk, following the second walk and finally coming back to the common vertex again. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkccat	⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwlkccat

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2		simp1l 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		ccatcl 14527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4	1, 2, 3	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		ccat0 14529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝐴 ++ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
6	5	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝐴 ++ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
7		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
8	6, 7	biimtrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝐴 ++ 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
9	8	necon3d 2955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅))
10	9	impr 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅)
11	10	3ad2antr1 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅)
12	11	3ad2antl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅)
13	4, 12	jca 516	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅))
14	13	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅))
15		clwwlkccatlem 30077	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
16		simpl1l 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17		simpr1l 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		simpr1r 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐵 ≠ ∅)
19		lswccatn0lsw 14545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))
21	20	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))
22		hashgt0 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
23	22	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝐴))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → 0 < (♯‘𝐴))
25		ccatfv0 14537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
26	16, 17, 24, 25	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
27	26	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
28		simp3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
29	27, 28	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐵‘0))
30	21, 29	preq12d 4673	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {(lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘0)} = {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)})
31		simp23 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
32	30, 31	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {(lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
33	14, 15, 32	3jca 1134	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
35		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
36	34, 35	isclwwlk 30072	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
37	34, 35	isclwwlk 30072	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38		biid 262	. . 3 ⊢ ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
39	36, 37, 38	3anbi123i 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ↔ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
40	34, 35	isclwwlk 30072	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ++ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
41	33, 39, 40	3imtr4i 293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∅c0 4261  {cpr 4557   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  lastSclsw 14515   ++ cconcat 14523  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134  ClWWalkscclwwlk 30069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-clwwlk 30070

This theorem is referenced by:  clwwlknccat  30151