Theorem cgr3tr4 36168

Description: Transitivity law for three-place congruence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cgr3tr4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩) → ⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩))

Proof of Theorem cgr3tr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3an6 1448	. . 3 ⊢ (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩) ∧ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr11 1258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr12 1259	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr21 1261	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpr22 1262	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simpr31 1264	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpr32 1265	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		axcgrtr 28914	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	syl133anc 1395	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
11		simpr13 1260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpr23 1263	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr33 1266	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		axcgrtr 28914	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩))
15	2, 3, 11, 5, 12, 7, 13, 14	syl133anc 1395	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩))
16		axcgrtr 28914	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩))
17	2, 4, 11, 6, 12, 8, 13, 16	syl133anc 1395	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩))
18	10, 15, 17	3anim123d 1445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩) ∧ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
19	1, 18	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
20		brcgr3 36162	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)))
21	20	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)))
22		brcgr3 36162	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
23	22	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
24	21, 23	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩))))
25		brcgr3 36162	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ (⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
26	25	3adant3r1 1183	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ (⟨𝐷, 𝐸⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐺, 𝐼⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐻, 𝐼⟩)))
27	19, 24, 26	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩) → ⟨𝐷, ⟨𝐸, 𝐹⟩⟩Cgr3⟨𝐺, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  ℕcn 12136  𝔼cee 28886  Cgrccgr 28888  Cgr3ccgr3 36152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-seq 13916  df-sum 15601  df-ee 28889  df-cgr 28891  df-cgr3 36157

This theorem is referenced by:  btwnxfr  36172