Theorem climeldmeqf 46367

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climeldmeqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climeldmeqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climeldmeqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climeldmeqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climeldmeqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climeldmeqf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeqf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climeldmeqf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climeldmeqf.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
4		climeldmeqf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climeldmeqf.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		nfv 1942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
8		climeldmeqf.n	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
9		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	8, 9	nffv 6891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
11		climeldmeqf.o	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
12	11, 9	nffv 6891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
13	10, 12	nfeq 2936	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
14	7, 13	nfim 1924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
15		eleq1w 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
18		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
19	17, 18	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
21		climeldmeqf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
23	1, 2, 3, 4, 22	climeldmeq 46349	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  Ⅎwnf 1811   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861   ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539

This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt2  46379