Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqf 45639
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqf.p 𝑘𝜑
climeldmeqf.n 𝑘𝐹
climeldmeqf.o 𝑘𝐺
climeldmeqf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqf.f (𝜑𝐹𝑉)
climeldmeqf.g (𝜑𝐺𝑊)
climeldmeqf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqf.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeldmeqf (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqf.f . 2 (𝜑𝐹𝑉)
3 climeldmeqf.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
4 climeldmeqf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climeldmeqf.p . . . . 5 𝑘𝜑
6 nfv 1912 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
75, 6nfan 1897 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
8 climeldmeqf.n . . . . . 6 𝑘𝐹
9 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘𝑗
108, 9nffv 6917 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
11 climeldmeqf.o . . . . . 6 𝑘𝐺
1211, 9nffv 6917 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
1310, 12nfeq 2917 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
147, 13nfim 1894 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
15 eleq1w 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
18 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
1917, 18eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2016, 19imbi12d 344 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
21 climeldmeqf.e . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2214, 20, 21chvarfv 2238 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
231, 2, 3, 4, 22climeldmeq 45621 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  dom cdm 5689  cfv 6563  cz 12611  cuz 12876  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt2  45651
  Copyright terms: Public domain W3C validator