Theorem clnbupgr 48416

Description: The closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgr	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑁) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉

Proof of Theorem clnbupgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	dfclnbgr4 48407	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑁) = ({𝑁} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)))
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑁) = ({𝑁} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)))
4		clnbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	1, 4	nbupgr 29502	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
6	5	uneq2d 4119	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑁} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		rabdif 4271	. . . . . 6 ⊢ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ∖ {𝑁}) = {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}
8	7	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ∖ {𝑁})
9	8	uneq2i 4116	. . . 4 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}) = ({𝑁} ∪ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ∖ {𝑁}))
10		undif2 4428	. . . 4 ⊢ ({𝑁} ∪ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ∖ {𝑁})) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
11	9, 10	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
13	3, 6, 12	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑁) = ({𝑁} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Vtxcvtx 29154  Edgcedg 29205  UPGraphcupgr 29238   NeighbVtx cnbgr 29490   ClNeighbVtx cclnbgr 48401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338  df-edg 29206  df-upgr 29240  df-nbgr 29491  df-clnbgr 48402

This theorem is referenced by:  clnbupgrel  48417