Theorem clnbupgrel 49137

Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgrel	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clnbuhgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clnbupgr 49136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
4	3	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6		elun 4155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		preq2 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
8	7	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	8	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
11	6, 10	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12		elsng 4598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
14	13	orbi1d 930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
15	11, 14	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16		ibar 538	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
18	17	eleq1i 2855	. . . . 5 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
20	19	orbi2d 929	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21	20	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
22	5, 15, 21	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  UPGraphcupgr 29688   ClNeighbVtx cclnbgr 49121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-edg 29656  df-upgr 29690  df-nbgr 29944  df-clnbgr 49122

This theorem is used by:  clnbupgreli  49138  isubgr3stgrlem7  49275  grlimprclnbgr  49299