Theorem clnbupgrel 47821

Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgrel	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clnbuhgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clnbupgr 47820	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
4	3	eleq2d 2827	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
5	4	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6		elun 4153	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		preq2 4734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
8	7	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	8	elrab 3692	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	orbi2i 913	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
11	6, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12		elsng 4640	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13	12	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
14	13	orbi1d 917	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
15	11, 14	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16		ibar 528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17		prcom 4732	. . . . . 6 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
18	17	eleq1i 2832	. . . . 5 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
20	19	orbi2d 916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21	20	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
22	5, 15, 21	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ∪ cun 3949  {csn 4626  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UPGraphcupgr 29097   ClNeighbVtx cclnbgr 47805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-upgr 29099  df-nbgr 29350  df-clnbgr 47806

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem7  47939