Theorem clnbupgrel 47440

Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgrel	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clnbuhgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clnbupgr 47439	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
4	3	eleq2d 2812	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
5	4	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6		elun 4147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		preq2 4735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
8	7	eleq1d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	8	elrab 3682	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	orbi2i 910	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
11	6, 10	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12		elsng 4639	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13	12	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
14	13	orbi1d 914	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
15	11, 14	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16		ibar 527	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17		prcom 4733	. . . . . 6 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
18	17	eleq1i 2817	. . . . 5 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitr3di 285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
20	19	orbi2d 913	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21	20	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
22	5, 15, 21	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3420   ∪ cun 3946  {csn 4625  {cpr 4627  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  Vtxcvtx 28928  Edgcedg 28979  UPGraphcupgr 29012   ClNeighbVtx cclnbgr 47425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-dju 9936  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-n0 12518  df-xnn0 12590  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532  df-hash 14342  df-edg 28980  df-upgr 29014  df-nbgr 29265  df-clnbgr 47426

This theorem is referenced by: (None)