Theorem clnbupgrel 48640

Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgrel	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clnbuhgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clnbupgr 48639	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
4	3	eleq2d 2852	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6		elun 4110	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		preq2 4705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
8	7	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	8	elrab 3653	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
11	6, 10	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12		elsng 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
14	13	orbi1d 930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
15	11, 14	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16		ibar 538	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17		prcom 4703	. . . . . 6 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
18	17	eleq1i 2857	. . . . 5 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
20	19	orbi2d 929	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21	20	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
22	5, 15, 21	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∪ cun 3906  {csn 4594  {cpr 4596  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Vtxcvtx 29383  Edgcedg 29434  UPGraphcupgr 29467   ClNeighbVtx cclnbgr 48624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-edg 29435  df-upgr 29469  df-nbgr 29720  df-clnbgr 48625

This theorem is used by:  clnbupgreli  48641  isubgr3stgrlem7  48778  grlimprclnbgr  48802