Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clnbupgrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clnbupgrel 47759
Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
clnbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clnbupgrel ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clnbuhgr.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 clnbuhgr.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2clnbupgr 47758 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
43eleq2d 2825 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
543adant3 1131 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6 elun 4163 . . . 4 (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7 preq2 4739 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
87eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
98elrab 3695 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
109orbi2i 912 . . . 4 ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
116, 10bitri 275 . . 3 (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12 elsng 4645 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13123ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
1413orbi1d 916 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
1511, 14bitrid 283 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16 ibar 528 . . . . 5 (𝑁𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17 prcom 4737 . . . . . 6 {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
1817eleq1i 2830 . . . . 5 ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
1916, 18bitr3di 286 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
2019orbi2d 915 . . 3 (𝑁𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21203ad2ant3 1134 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
225, 15, 213bitrd 305 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾𝑉𝑁𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  UPGraphcupgr 29112   ClNeighbVtx cclnbgr 47743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-upgr 29114  df-nbgr 29365  df-clnbgr 47744
This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem7  47875
  Copyright terms: Public domain W3C validator