Theorem clnbupgrel 48076

Description: A member of the closed neighborhood of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clnbupgrel	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem clnbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbuhgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clnbuhgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clnbupgr 48075	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
4	3	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})))
6		elun 4105	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
7		preq2 4691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
8	7	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
9	8	elrab 3646	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
10	9	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
11	6, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
12		elsng 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ {𝐾} ↔ 𝑁 = 𝐾))
14	13	orbi1d 916	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ∈ {𝐾} ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
15	11, 14	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ({𝐾} ∪ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))))
16		ibar 528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
17		prcom 4689	. . . . . 6 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
18	17	eleq1i 2827	. . . . 5 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
20	19	orbi2d 915	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
21	20	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑁 = 𝐾 ∨ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))
22	5, 15, 21	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 = 𝐾 ∨ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ∪ cun 3899  {csn 4580  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120  UPGraphcupgr 29153   ClNeighbVtx cclnbgr 48060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-edg 29121  df-upgr 29155  df-nbgr 29406  df-clnbgr 48061

This theorem is referenced by:  clnbupgreli  48077  isubgr3stgrlem7  48214  grlimprclnbgr  48238