MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwwlknon0 29206
Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon0 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Proof of Theorem clwwlknon0
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7398 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0))
2 clwwlk0on0 29205 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2787 . . 3 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
43a1d 25 . 2 (𝑁 = 0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
5 simprl 769 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 elnnne0 12465 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
76simplbi2 501 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
98impcom 408 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
105, 9jca 512 . . . . 5 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•))
1110stoic1a 1774 . . . 4 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
12 clwwlknonmpo 29202 . . . . 5 (ClWWalksNOnβ€˜πΊ) = (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑣})
1312mpondm0 7627 . . . 4 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1514ex 413 . 2 (𝑁 β‰  0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
164, 15pm2.61ine 3024 1 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  {crab 3429  βˆ…c0 4315  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  0cc0 11089  β„•cn 12191  β„•0cn0 12451  Vtxcvtx 28116   ClWWalksN cclwwlkn 29137  ClWWalksNOncclwwlknon 29200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-oadd 8449  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-n0 12452  df-xnn0 12524  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-hash 14270  df-word 14444  df-clwwlk 29095  df-clwwlkn 29138  df-clwwlknon 29201
This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  29212  clwwlknon1le1  29214
  Copyright terms: Public domain W3C validator