Theorem clwwlknon0 28358

Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon0	⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0))
2		clwwlk0on0 28357	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
4	3	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
5		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		elnnne0 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	simplbi2 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
9	8	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
11	10	stoic1a 1776	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
12		clwwlknonmpo 28354	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
13	12	mpondm0 7488	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
16	4, 15	pm2.61ine 3027	1 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Vtxcvtx 27269   ClWWalksN cclwwlkn 28289  ClWWalksNOncclwwlknon 28352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-clwwlk 28247  df-clwwlkn 28290  df-clwwlknon 28353

This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  28364  clwwlknon1le1  28366