Theorem clwwlknon0 30094

Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon0	⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0))
2		clwwlk0on0 30093	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
4	3	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
5		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		elnnne0 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	simplbi2 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
9	8	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
11	10	stoic1a 1773	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
12		clwwlknonmpo 30090	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
13	12	mpondm0 7595	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
16	4, 15	pm2.61ine 3012	1 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396  ∅c0 4282  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  Vtxcvtx 28995   ClWWalksN cclwwlkn 30025  ClWWalksNOncclwwlknon 30088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-hash 14245  df-word 14428  df-clwwlk 29983  df-clwwlkn 30026  df-clwwlknon 30089

This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  30100  clwwlknon1le1  30102