MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwwlknon0 29855
Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon0 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Proof of Theorem clwwlknon0
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0))
2 clwwlk0on0 29854 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2782 . . 3 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
43a1d 25 . 2 (𝑁 = 0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
5 simprl 768 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 elnnne0 12490 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
76simplbi2 500 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
98impcom 407 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
105, 9jca 511 . . . . 5 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•))
1110stoic1a 1766 . . . 4 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
12 clwwlknonmpo 29851 . . . . 5 (ClWWalksNOnβ€˜πΊ) = (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑣})
1312mpondm0 7644 . . . 4 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1514ex 412 . 2 (𝑁 β‰  0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
164, 15pm2.61ine 3019 1 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {crab 3426  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Vtxcvtx 28764   ClWWalksN cclwwlkn 29786  ClWWalksNOncclwwlknon 29849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-clwwlk 29744  df-clwwlkn 29787  df-clwwlknon 29850
This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  29861  clwwlknon1le1  29863
  Copyright terms: Public domain W3C validator