MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwwlknon0 29945
Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon0 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Proof of Theorem clwwlknon0
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7423 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0))
2 clwwlk0on0 29944 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2781 . . 3 (𝑁 = 0 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
43a1d 25 . 2 (𝑁 = 0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
5 simprl 769 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 elnnne0 12514 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
76simplbi2 499 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ 𝑁 ∈ β„•))
98impcom 406 . . . . . 6 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
105, 9jca 510 . . . . 5 ((𝑁 β‰  0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•))
1110stoic1a 1766 . . . 4 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
12 clwwlknonmpo 29941 . . . . 5 (ClWWalksNOnβ€˜πΊ) = (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑣})
1312mpondm0 7657 . . . 4 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
1514ex 411 . 2 (𝑁 β‰  0 β†’ (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…))
164, 15pm2.61ine 3015 1 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  Vtxcvtx 28851   ClWWalksN cclwwlkn 29876  ClWWalksNOncclwwlknon 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-clwwlk 29834  df-clwwlkn 29877  df-clwwlknon 29940
This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  29951  clwwlknon1le1  29953
  Copyright terms: Public domain W3C validator