Theorem clwwlknon0 27878

Description: Sufficient conditions for ClWWalksNOn to be empty. (Contributed by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon0	⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0))
2		clwwlk0on0 27877	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
4	3	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
5		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		elnnne0 11899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	simplbi2 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
9	8	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
11	10	stoic1a 1774	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
12		clwwlknonmpo 27874	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
13	12	mpondm0 7366	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
15	14	ex 416	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅))
16	4, 15	pm2.61ine 3070	1 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  Vtxcvtx 26789   ClWWalksN cclwwlkn 27809  ClWWalksNOncclwwlknon 27872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-clwwlk 27767  df-clwwlkn 27810  df-clwwlknon 27873

This theorem is referenced by:  clwwlknon1nloop  27884  clwwlknon1le1  27886