MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsiun 17134
Description: The set of (different!) words resulting by cyclically shifting a given word is an indexed union. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 8-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
Assertion
Ref Expression
cshwsiun (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 = 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshwsiun
StepHypRef Expression
1 df-rab 3434 . . 3 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)}
2 eqcom 2742 . . . . . . . . 9 ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
32biimpi 216 . . . . . . . 8 ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
43reximi 3082 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
6 cshwcl 14833 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
8 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉))
97, 8syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
109rexlimdva 3153 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
11 eqcom 2742 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
1211biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
1312reximi 3082 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
1410, 13jca2 513 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)))
155, 14impbid2 226 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛)))
16 velsn 4647 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
1716bicomi 224 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)})
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
1918rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
2015, 19bitrd 279 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
2120abbidv 2806 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
221, 21eqtrid 2787 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
23 cshwrepswhash1.m . 2 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
24 df-iun 4998 . 2 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}}
2522, 23, 243eqtr4g 2800 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 = 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  {crab 3433  {csn 4631   ciun 4996  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824
This theorem is referenced by:  cshwsex  17135  cshwshashnsame  17138
  Copyright terms: Public domain W3C validator