Theorem cshwsiun 17060

Description: The set of (different!) words resulting by cyclically shifting a given word is an indexed union. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 8-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwsiun	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshwsiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3428	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)}
2		eqcom 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
3	2	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 → 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
4	3	reximi 3079	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
6		cshwcl 14772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
8		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉))
9	7, 8	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
10	9	rexlimdva 3150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
11		eqcom 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
12	11	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
13	12	reximi 3079	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
14	10, 13	jca2 513	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)))
15	5, 14	impbid2 225	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛)))
16		velsn 4640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
17	16	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)})
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
19	18	rexbidv 3173	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
20	15, 19	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
21	20	abbidv 2796	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
22	1, 21	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
23		cshwrepswhash1.m	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
24		df-iun 4993	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}}
25	22, 23, 24	3eqtr4g 2792	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∃wrex 3065  {crab 3427  {csn 4624  ∪ ciun 4991  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313  Word cword 14488   cyclShift ccsh 14762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763

This theorem is referenced by:  cshwsex  17061  cshwshashnsame  17064