Theorem cshwsiun 17309

Description: The set of (different!) words resulting by cyclically shifting a given word is an indexed union. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 8-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwsiun	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤, 𝑛)

Proof of Theorem cshwsiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)}
2		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
3	2	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 → 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
4	3	reximi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
6		cshwcl 14980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉)
8		eleq1 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ Word 𝑉))
9	7, 8	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
10	9	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → 𝑤 ∈ Word 𝑉))
11		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
12	11	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
13	12	reximi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
14	10, 13	jca2 523	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)))
15	5, 14	impbid2 229	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛)))
16		velsn 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ 𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛))
17	16	bicomi 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)})
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ 𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
19	18	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 = (𝑊 cyclShift 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
20	15, 19	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤) ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
21	20	abbidv 2829	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
22	1, 21	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}})
23		cshwrepswhash1.m	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
24		df-iun 4956	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {𝑤 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑤 ∈ {(𝑊 cyclShift 𝑛)}}
25	22, 23, 24	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  {crab 3416  {csn 4588  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   cyclShift ccsh 14970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-csh 14971

This theorem is used by:  cshwsex  17310  cshwshashnsame  17313