Theorem cshwshashnsame 17081

Description: If a word (not consisting of identical symbols) has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwshashnsame	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cshwshashnsame

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2	1	cshwsiun 17077	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
3	2	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
4	3	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
5		fzofi 13946	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7		snfi 9017	. . . . 5 ⊢ {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
10	9	cshwsdisj 17076	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
11	6, 8, 10	hashiun 15795	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
12		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V
13		hashsng 14341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
15	14	sumeq2sdv 15676	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1)
16		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
17		fsumconst 15763	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
18	5, 16, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
19		lencl 14505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21		hashfzo0 14402	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
23	22	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1) = ((♯‘𝑊) · 1))
24		prmnn 16651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
25	24	nnred 12208	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27		ax-1rid 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
29	18, 23, 28	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
31	15, 30	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = (♯‘𝑊))
32	4, 11, 31	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊))
33	32	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450  {csn 4592  ∪ ciun 4958  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   cyclShift ccsh 14760  Σcsu 15659  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-reps 14741  df-csh 14761  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-phi 16743

This theorem is referenced by:  cshwshash  17082  umgrhashecclwwlk  30014