MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashnsame Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashnsame 16984
Description: If a word (not consisting of identical symbols) has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m ๐‘€ = {๐‘ค โˆˆ Word ๐‘‰ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Š cyclShift ๐‘›) = ๐‘ค}
Assertion
Ref Expression
cshwshashnsame ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘‰,๐‘ค   ๐‘›,๐‘Š,๐‘ค,๐‘–   ๐‘–,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem cshwshashnsame
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . . . 6 ๐‘€ = {๐‘ค โˆˆ Word ๐‘‰ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Š cyclShift ๐‘›) = ๐‘ค}
21cshwsiun 16980 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ ๐‘€ = โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
32ad2antrr 725 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ๐‘€ = โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
43fveq2d 6850 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}))
5 fzofi 13888 . . . . 5 (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin
65a1i 11 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin)
7 snfi 8994 . . . . 5 {(๐‘Š cyclShift ๐‘›)} โˆˆ Fin
87a1i 11 . . . 4 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โˆง ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ {(๐‘Š cyclShift ๐‘›)} โˆˆ Fin)
9 id 22 . . . . 5 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™))
109cshwsdisj 16979 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
116, 8, 10hashiun 15715 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}))
12 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘Š cyclShift ๐‘›) โˆˆ V
13 hashsng 14278 . . . . . 6 ((๐‘Š cyclShift ๐‘›) โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = 1)
1412, 13mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = 1)
1514sumeq2sdv 15597 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1)
16 1cnd 11158 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 fsumconst 15683 . . . . . . 7 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1))
185, 16, 17sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1))
19 lencl 14430 . . . . . . . . 9 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
21 hashfzo0 14339 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2322oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1))
24 prmnn 16558 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)
2524nnred 12176 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
2625adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
27 ax-1rid 11129 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2918, 23, 283eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3029adantr 482 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3115, 30eqtrd 2773 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
324, 11, 313eqtrd 2777 . 2 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3332ex 414 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  {csn 4590  โˆช ciun 4958  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„•0cn0 12421  ..^cfzo 13576  โ™ฏchash 14239  Word cword 14411   cyclShift ccsh 14685  ฮฃcsu 15579  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-reps 14666  df-csh 14686  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646
This theorem is referenced by:  cshwshash  16985  umgrhashecclwwlk  29071
  Copyright terms: Public domain W3C validator