Theorem cshwshashnsame 17065

Description: If a word (not consisting of identical symbols) has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwshashnsame	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cshwshashnsame

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2	1	cshwsiun 17061	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
3	2	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑀 = ∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
4	3	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
5		fzofi 13927	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7		snfi 8983	. . . . 5 ⊢ {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
10	9	cshwsdisj 17060	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
11	6, 8, 10	hashiun 15776	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘∪ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
12		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V
13		hashsng 14322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
15	14	sumeq2sdv 15656	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1)
16		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
17		fsumconst 15743	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
18	5, 16, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
19		lencl 14486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21		hashfzo0 14383	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
23	22	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1) = ((♯‘𝑊) · 1))
24		prmnn 16634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
25	24	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27		ax-1rid 11099	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
29	18, 23, 28	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
31	15, 30	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = (♯‘𝑊))
32	4, 11, 31	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊))
33	32	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430  {csn 4568  ∪ ciun 4934  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14741  Σcsu 15639  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-reps 14722  df-csh 14742  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-phi 16727

This theorem is referenced by:  cshwshash  17066  umgrhashecclwwlk  30163