MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashnsame Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashnsame 17064
Description: If a word (not consisting of identical symbols) has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m ๐‘€ = {๐‘ค โˆˆ Word ๐‘‰ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Š cyclShift ๐‘›) = ๐‘ค}
Assertion
Ref Expression
cshwshashnsame ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘‰,๐‘ค   ๐‘›,๐‘Š,๐‘ค,๐‘–   ๐‘–,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem cshwshashnsame
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . . . 6 ๐‘€ = {๐‘ค โˆˆ Word ๐‘‰ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Š cyclShift ๐‘›) = ๐‘ค}
21cshwsiun 17060 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ ๐‘€ = โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
32ad2antrr 725 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ๐‘€ = โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
43fveq2d 6895 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}))
5 fzofi 13963 . . . . 5 (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin
65a1i 11 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin)
7 snfi 9060 . . . . 5 {(๐‘Š cyclShift ๐‘›)} โˆˆ Fin
87a1i 11 . . . 4 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โˆง ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ {(๐‘Š cyclShift ๐‘›)} โˆˆ Fin)
9 id 22 . . . . 5 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™))
109cshwsdisj 17059 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ Disj ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)})
116, 8, 10hashiun 15792 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)){(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}))
12 ovex 7447 . . . . . 6 (๐‘Š cyclShift ๐‘›) โˆˆ V
13 hashsng 14352 . . . . . 6 ((๐‘Š cyclShift ๐‘›) โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = 1)
1412, 13mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = 1)
1514sumeq2sdv 15674 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1)
16 1cnd 11231 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 fsumconst 15760 . . . . . . 7 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1))
185, 16, 17sylancr 586 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1))
19 lencl 14507 . . . . . . . . 9 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
21 hashfzo0 14413 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2322oveq1d 7429 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1))
24 prmnn 16636 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)
2524nnred 12249 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„)
27 ax-1rid 11200 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
2918, 23, 283eqtrd 2771 . . . . 5 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3029adantr 480 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))1 = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3115, 30eqtrd 2767 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(โ™ฏโ€˜{(๐‘Š cyclShift ๐‘›)}) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
324, 11, 313eqtrd 2771 . 2 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
3332ex 412 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) โ‰  (๐‘Šโ€˜0) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘€) = (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  {csn 4624  โˆช ciun 4991  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135  โ„•0cn0 12494  ..^cfzo 13651  โ™ฏchash 14313  Word cword 14488   cyclShift ccsh 14762  ฮฃcsu 15656  โ„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-reps 14743  df-csh 14763  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-phi 16726
This theorem is referenced by:  cshwshash  17065  umgrhashecclwwlk  29875
  Copyright terms: Public domain W3C validator