MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashnsame Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashnsame 17141
Description: If a word (not consisting of identical symbols) has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
Assertion
Ref Expression
cshwshashnsame ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cshwshashnsame
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
21cshwsiun 17137 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 = 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
32ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑀 = 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
43fveq2d 6910 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
5 fzofi 14015 . . . . 5 (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7 snfi 9083 . . . . 5 {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin
87a1i 11 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∈ Fin)
9 id 22 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
109cshwsdisj 17136 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
116, 8, 10hashiun 15858 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}))
12 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V
13 hashsng 14408 . . . . . 6 ((𝑊 cyclShift 𝑛) ∈ V → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
1412, 13mp1i 13 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = 1)
1514sumeq2sdv 15739 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1)
16 1cnd 11256 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
17 fsumconst 15826 . . . . . . 7 (((0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
185, 16, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1))
19 lencl 14571 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21 hashfzo0 14469 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
2322oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑊))) · 1) = ((♯‘𝑊) · 1))
24 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2524nnred 12281 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27 ax-1rid 11225 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
2918, 23, 283eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
3029adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))1 = (♯‘𝑊))
3115, 30eqtrd 2777 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(♯‘{(𝑊 cyclShift 𝑛)}) = (♯‘𝑊))
324, 11, 313eqtrd 2781 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊))
3332ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626   ciun 4991  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Σcsu 15722  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-reps 14807  df-csh 14827  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803
This theorem is referenced by:  cshwshash  17142  umgrhashecclwwlk  30097
  Copyright terms: Public domain W3C validator