Theorem fusgrmaxsize 29428

Description: The maximum size of a finite simple graph with 𝑛 vertices is (((𝑛 − 1)∗𝑛) / 2). See statement in section I.1 of [Bollobas] p. 3 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 14-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrmaxsize	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Proof of Theorem fusgrmaxsize

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isfusgr 29281	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		cusgrexg 29407	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
5		fusgrmaxsize.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1	fvexi 6840	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		vex 3442	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
8	6, 7	opvtxfvi 28972	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = 𝑉
9	8	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
11	1, 5, 9, 10	sizusglecusg 29427	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
13	9, 10	cusgrsize 29418	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2))
14		breq2 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) ↔ (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
15	14	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
17	16	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
19	18	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
20	12, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
21	4, 20	exlimddv 1935	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
22	2, 21	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879   ≤ cle 11169  2c2 12201  Ccbc 14227  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  Edgcedg 29010  USGraphcusgr 29112  FinUSGraphcfusgr 29279  ComplUSGraphccusgr 29373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-seq 13927  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-vtx 28961  df-iedg 28962  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-upgr 29045  df-umgr 29046  df-uspgr 29113  df-usgr 29114  df-fusgr 29280  df-nbgr 29296  df-uvtx 29349  df-cplgr 29374  df-cusgr 29375

This theorem is referenced by: (None)