Theorem fusgrmaxsize 29409

Description: The maximum size of a finite simple graph with 𝑛 vertices is (((𝑛 − 1)∗𝑛) / 2). See statement in section I.1 of [Bollobas] p. 3 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 14-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrmaxsize	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Proof of Theorem fusgrmaxsize

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isfusgr 29262	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		cusgrexg 29388	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
5		fusgrmaxsize.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
8	6, 7	opvtxfvi 28953	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = 𝑉
9	8	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
10		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
11	1, 5, 9, 10	sizusglecusg 29408	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
13	9, 10	cusgrsize 29399	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2))
14		breq2 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) ↔ (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
15	14	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
17	16	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
19	18	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
20	12, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
21	4, 20	exlimddv 1934	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
22	2, 21	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Fincfn 8966   ≤ cle 11277  2c2 12302  Ccbc 14322  ♯chash 14350  Vtxcvtx 28940  Edgcedg 28991  USGraphcusgr 29093  FinUSGraphcfusgr 29260  ComplUSGraphccusgr 29354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-fz 13529  df-seq 14024  df-fac 14294  df-bc 14323  df-hash 14351  df-vtx 28942  df-iedg 28943  df-edg 28992  df-uhgr 29002  df-upgr 29026  df-umgr 29027  df-uspgr 29094  df-usgr 29095  df-fusgr 29261  df-nbgr 29277  df-uvtx 29330  df-cplgr 29355  df-cusgr 29356

This theorem is referenced by: (None)