Theorem fusgrmaxsize 29795

Description: The maximum size of a finite simple graph with 𝑛 vertices is (((𝑛 − 1)∗𝑛) / 2). See statement in section I.1 of [Bollobas] p. 3 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 14-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrmaxsize	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Proof of Theorem fusgrmaxsize

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isfusgr 29649	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		cusgrexg 29775	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
5		fusgrmaxsize.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1	fvexi 6897	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
8	6, 7	opvtxfvi 29340	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = 𝑉
9	8	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
11	1, 5, 9, 10	sizusglecusg 29794	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
12	11	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
13	9, 10	cusgrsize 29785	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2))
14		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) ↔ (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
15	14	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
17	16	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
19	18	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
20	12, 19	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
21	4, 20	exlimddv 1965	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
22	2, 21	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944   ≤ cle 11245  2c2 12296  Ccbc 14340  ♯chash 14368  Vtxcvtx 29327  Edgcedg 29378  USGraphcusgr 29480  FinUSGraphcfusgr 29647  ComplUSGraphccusgr 29741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-vtx 29329  df-iedg 29330  df-edg 29379  df-uhgr 29389  df-upgr 29413  df-umgr 29414  df-uspgr 29481  df-usgr 29482  df-fusgr 29648  df-nbgr 29664  df-uvtx 29717  df-cplgr 29742  df-cusgr 29743

This theorem is referenced by: (None)