Theorem decaddci 12717

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7	⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddci	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12464	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12678	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12461	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11368	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9	8	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10		decaddci.5	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
11	9, 10	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12		decaddci.6	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		decaddci.7	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 12711	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-dec 12657

This theorem is referenced by:  decaddci2  12718  6t4e24  12762  7t3e21  12766  7t5e35  12768  7t6e42  12769  8t3e24  12772  8t4e32  12773  8t7e56  12776  8t8e64  12777  9t3e27  12779  9t4e36  12780  9t5e45  12781  9t6e54  12782  9t7e63  12783  9t8e72  12784  9t9e81  12785  2exp8  17066  2exp11  17067  prmlem2  17097  43prm  17099  83prm  17100  317prm  17103  631prm  17104  1259lem1  17108  1259lem2  17109  1259lem3  17110  1259lem4  17111  1259lem5  17112  2503lem1  17114  2503lem2  17115  2503lem3  17116  4001lem1  17118  4001lem2  17119  4001lem4  17121  log2ublem3  26865  log2ub  26866  ex-exp  30386  hgt750lem2  34650  3exp7  42048  3lexlogpow5ineq1  42049  resqrtvalex  43641  imsqrtvalex  43642  fmtno5lem1  47558  fmtno5lem4  47561  257prm  47566  fmtno4nprmfac193  47579  fmtno5fac  47587  127prm  47604  2exp340mod341  47738  ackval3012  48685