MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decaddci 12138
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddci.5 (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddci (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decaddi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11891 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 12099 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 11888 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
87addid1i 10805 . . . 4 (𝐴 + 0) = 𝐴
98oveq1i 7143 . . 3 ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10 decaddci.5 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐷
119, 10eqtri 2843 . 2 ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12 decaddci.6 . 2 𝐶 ∈ ℕ0
13 decaddci.7 . 2 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 12132 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2114  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518  0cn0 11876  cdc 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-dec 12078
This theorem is referenced by:  decaddci2  12139  6t4e24  12183  7t3e21  12187  7t5e35  12189  7t6e42  12190  8t3e24  12193  8t4e32  12194  8t7e56  12197  8t8e64  12198  9t3e27  12200  9t4e36  12201  9t5e45  12202  9t6e54  12203  9t7e63  12204  9t8e72  12205  9t9e81  12206  2exp8  16402  prmlem2  16432  43prm  16434  83prm  16435  317prm  16438  631prm  16439  1259lem1  16443  1259lem2  16444  1259lem3  16445  1259lem4  16446  1259lem5  16447  2503lem1  16449  2503lem2  16450  2503lem3  16451  4001lem1  16453  4001lem2  16454  4001lem4  16456  log2ublem3  25513  log2ub  25514  ex-exp  28214  hgt750lem2  31931  fmtno5lem1  43861  fmtno5lem4  43864  257prm  43869  fmtno4nprmfac193  43882  fmtno5fac  43890  127prm  43908  2exp11  43910  2exp340mod341  44043  ackval3012  44866
  Copyright terms: Public domain W3C validator