Theorem decaddci 12778

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7	⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddci	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12527	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12739	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12524	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11441	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9	8	oveq1i 7436	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10		decaddci.5	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
11	9, 10	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12		decaddci.6	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		decaddci.7	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 12772	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  ℕ₀cn0 12512  ;cdc 12717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-dec 12718

This theorem is referenced by:  decaddci2  12779  6t4e24  12823  7t3e21  12827  7t5e35  12829  7t6e42  12830  8t3e24  12833  8t4e32  12834  8t7e56  12837  8t8e64  12838  9t3e27  12840  9t4e36  12841  9t5e45  12842  9t6e54  12843  9t7e63  12844  9t8e72  12845  9t9e81  12846  2exp8  17067  2exp11  17068  prmlem2  17098  43prm  17100  83prm  17101  317prm  17104  631prm  17105  1259lem1  17109  1259lem2  17110  1259lem3  17111  1259lem4  17112  1259lem5  17113  2503lem1  17115  2503lem2  17116  2503lem3  17117  4001lem1  17119  4001lem2  17120  4001lem4  17122  log2ublem3  26908  log2ub  26909  ex-exp  30288  hgt750lem2  34325  3exp7  41564  3lexlogpow5ineq1  41565  resqrtvalex  43124  imsqrtvalex  43125  fmtno5lem1  46940  fmtno5lem4  46943  257prm  46948  fmtno4nprmfac193  46961  fmtno5fac  46969  127prm  46986  2exp340mod341  47120  ackval3012  47861