Theorem resqrtvalex 44449

Description: Example for resqrtval 44447. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtvalex	⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		5nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12747	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11179	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12358	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11236	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11235	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		resqrtval 44447	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))
11		7nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	3	nn0rei 12535	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
13		8re 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
14		absreim 15373	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
16	4	sqvali 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
17		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
18	4	mullidi 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · ;15) = ;15
19		1p1e2 12384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
20		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	11	nn0cni 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
23		7p5e12 12814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 5) = ;12
24	21, 22, 23	addcomli 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 7) = ;12
25	1, 2, 11, 18, 19, 20, 24	decaddci 12798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
26	22	mulridi 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 1) = 5
27	26	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28		5p2e7 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 2) = 7
29	27, 28	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
30		5t5e25 12840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
31	2, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30	decmul2c 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · ;15) = ;75
32	3, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31	decmul1c 12802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
33	16, 32	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;15↑2) = ;;225
34	6	sqvali 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
35		8t8e64 12858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 8) = ;64
36	34, 35	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8↑2) = ;64
37	33, 36	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
38	20, 20	deccl 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
39		6nn0 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ0
40		4nn0 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;225 = ;;225
42		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;64 = ;64
43		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 = ;22
44	39	nn0cni 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
45		2cn 12336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		6p2e8 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
47	44, 45, 46	addcomli 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 6) = 8
48	20, 20, 39, 43, 47	decaddi 12797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 + 6) = ;28
49		5p4e9 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 4) = 9
50	38, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49	decadd 12791	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
51	1, 11	deccl 12747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℂ
53	52	sqvali 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
54		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 = ;17
55		9nn0 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
56	1, 1	deccl 12747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
57	52	mullidi 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ;17) = ;17
58		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 = ;11
59		7p1e8 12409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
60	1, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59	decadd 12791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
61	21	mulridi 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 1) = 7
62	61	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63		7p4e11 12813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
64	62, 63	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
65		7t7e49 12851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 7) = ;49
66	11, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65	decmul2c 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
67	51, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66	decmul1c 12802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
68	53, 67	eqtr2i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
69	37, 50, 68	3eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
70	69	fveq2i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
71	51	nn0ge0i 12551	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ;17
72	51	nn0rei 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
73	72	sqrtsqi 15455	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
75	15, 70, 74	3eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
76	12, 13	crrei 15272	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
77	19	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78		2p1e3 12402	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
79	77, 78	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
80	1, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23	decaddc 12792	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = ;32
81	80	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (;32 / 2)
82		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
83	45	mulridi 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
85	84, 78	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
86		6t2e12 12841	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
87	44, 45, 86	mulcomli 11238	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
88	20, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87	decmul2c 12803	. . . . 5 ⊢ (2 · ;16) = ;32
89		3nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
90	89, 20	deccl 12747	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
91	90	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
92	1, 39	deccl 12747	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
93	92	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ ;16 ∈ ℂ
94		2ne0 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
95	91, 45, 93, 94	divmuli 11989	. . . . 5 ⊢ ((;32 / 2) = ;16 ↔ (2 · ;16) = ;32)
96	88, 95	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (;32 / 2) = ;16
97	40	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
98	97	sqvali 14239	. . . . 5 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
99		4t4e16 12836	. . . . 5 ⊢ (4 · 4) = ;16
100	98, 99	eqtr2i 2789	. . . 4 ⊢ ;16 = (4↑2)
101	81, 96, 100	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102	101	fveq2i 6889	. 2 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
103	40	nn0ge0i 12551	. . 3 ⊢ 0 ≤ 4
104	40	nn0rei 12535	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
105	104	sqrtsqi 15455	. . 3 ⊢ (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106	103, 105	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(4↑2)) = 4
107	10, 102, 106	3eqtri 2792	1 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  ℝcr 11119  0cc0 11120  1c1 11121  ici 11122   + caddc 11123   · cmul 11125   ≤ cle 11264   / cdiv 11891  2c2 12315  3c3 12316  4c4 12317  5c5 12318  6c6 12319  7c7 12320  8c8 12321  9c9 12322  ;cdc 12732  ↑cexp 14120  ℜcre 15177  √csqrt 15313  abscabs 15314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-rp 13038  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316

This theorem is used by: (None)