Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resqrtvalex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtvalex 40275
Description: Example for resqrtval 40273. (Contributed by RP, 21-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
resqrtvalex (ℜ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex
StepHypRef Expression
1 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 5nn0 11905 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12101 . . . . 5 15 ∈ ℕ0
43nn0cni 11897 . . . 4 15 ∈ ℂ
5 ax-icn 10585 . . . . 5 i ∈ ℂ
6 8cn 11722 . . . . 5 8 ∈ ℂ
75, 6mulcli 10637 . . . 4 (i · 8) ∈ ℂ
84, 7addcli 10636 . . 3 (15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9 resqrtval 40273 . . 3 ((15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (ℜ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))
11 7nn0 11907 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
123nn0rei 11896 . . . . . . . 8 15 ∈ ℝ
13 8re 11721 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
14 absreim 14644 . . . . . . . 8 ((15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2))))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . 7 (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2)))
164sqvali 13539 . . . . . . . . . . 11 (15↑2) = (15 · 15)
17 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
184mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 15) = 15
19 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
20 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
2111nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ ℂ
222nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℂ
23 7p5e12 12163 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 + 5) = 12
2421, 22, 23addcomli 10821 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 7) = 12
251, 2, 11, 18, 19, 20, 24decaddci 12147 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 15) + 7) = 22
2622mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 1) = 5
2726oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28 5p2e7 11781 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 2) = 7
2927, 28eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 1) + 2) = 7
30 5t5e25 12189 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 5) = 25
312, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30decmul2c 12152 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 15) = 75
323, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31decmul1c 12151 . . . . . . . . . . 11 (15 · 15) = 225
3316, 32eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (15↑2) = 225
346sqvali 13539 . . . . . . . . . . 11 (8↑2) = (8 · 8)
35 8t8e64 12207 . . . . . . . . . . 11 (8 · 8) = 64
3634, 35eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (8↑2) = 64
3733, 36oveq12i 7152 . . . . . . . . 9 ((15↑2) + (8↑2)) = (225 + 64)
3820, 20deccl 12101 . . . . . . . . . 10 22 ∈ ℕ0
39 6nn0 11906 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ0
40 4nn0 11904 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
41 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 225 = 225
42 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 64 = 64
43 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 22 = 22
4439nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
45 2cn 11700 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
46 6p2e8 11784 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 2) = 8
4744, 45, 46addcomli 10821 . . . . . . . . . . 11 (2 + 6) = 8
4820, 20, 39, 43, 47decaddi 12146 . . . . . . . . . 10 (22 + 6) = 28
49 5p4e9 11783 . . . . . . . . . 10 (5 + 4) = 9
5038, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49decadd 12140 . . . . . . . . 9 (225 + 64) = 289
511, 11deccl 12101 . . . . . . . . . . . 12 17 ∈ ℕ0
5251nn0cni 11897 . . . . . . . . . . 11 17 ∈ ℂ
5352sqvali 13539 . . . . . . . . . 10 (17↑2) = (17 · 17)
54 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 17 = 17
55 9nn0 11909 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
561, 1deccl 12101 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
5752mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 17) = 17
58 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 11 = 11
59 7p1e8 11774 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 1) = 8
601, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59decadd 12140 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 17) + 11) = 28
6121mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 1) = 7
6261oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . 13 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63 7p4e11 12162 . . . . . . . . . . . . 13 (7 + 4) = 11
6462, 63eqtri 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((7 · 1) + 4) = 11
65 7t7e49 12200 . . . . . . . . . . . 12 (7 · 7) = 49
6611, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65decmul2c 12152 . . . . . . . . . . 11 (7 · 17) = 119
6751, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66decmul1c 12151 . . . . . . . . . 10 (17 · 17) = 289
6853, 67eqtr2i 2846 . . . . . . . . 9 289 = (17↑2)
6937, 50, 683eqtri 2849 . . . . . . . 8 ((15↑2) + (8↑2)) = (17↑2)
7069fveq2i 6655 . . . . . . 7 (√‘((15↑2) + (8↑2))) = (√‘(17↑2))
7151nn0ge0i 11912 . . . . . . . 8 0 ≤ 17
7251nn0rei 11896 . . . . . . . . 9 17 ∈ ℝ
7372sqrtsqi 14725 . . . . . . . 8 (0 ≤ 17 → (√‘(17↑2)) = 17)
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . 7 (√‘(17↑2)) = 17
7515, 70, 743eqtri 2849 . . . . . 6 (abs‘(15 + (i · 8))) = 17
7612, 13crrei 14542 . . . . . 6 (ℜ‘(15 + (i · 8))) = 15
7719oveq1i 7150 . . . . . . 7 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78 2p1e3 11767 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
7977, 78eqtri 2845 . . . . . 6 ((1 + 1) + 1) = 3
801, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23decaddc 12141 . . . . 5 ((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = 32
8180oveq1i 7150 . . . 4 (((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (32 / 2)
82 eqid 2822 . . . . . 6 16 = 16
8345mulid1i 10634 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
8483oveq1i 7150 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
8584, 78eqtri 2845 . . . . . 6 ((2 · 1) + 1) = 3
86 6t2e12 12190 . . . . . . 7 (6 · 2) = 12
8744, 45, 86mulcomli 10639 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
8820, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87decmul2c 12152 . . . . 5 (2 · 16) = 32
89 3nn0 11903 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
9089, 20deccl 12101 . . . . . . 7 32 ∈ ℕ0
9190nn0cni 11897 . . . . . 6 32 ∈ ℂ
921, 39deccl 12101 . . . . . . 7 16 ∈ ℕ0
9392nn0cni 11897 . . . . . 6 16 ∈ ℂ
94 2ne0 11729 . . . . . 6 2 ≠ 0
9591, 45, 93, 94divmuli 11383 . . . . 5 ((32 / 2) = 16 ↔ (2 · 16) = 32)
9688, 95mpbir 234 . . . 4 (32 / 2) = 16
9740nn0cni 11897 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
9897sqvali 13539 . . . . 5 (4↑2) = (4 · 4)
99 4t4e16 12185 . . . . 5 (4 · 4) = 16
10098, 99eqtr2i 2846 . . . 4 16 = (4↑2)
10181, 96, 1003eqtri 2849 . . 3 (((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102101fveq2i 6655 . 2 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) + (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
10340nn0ge0i 11912 . . 3 0 ≤ 4
10440nn0rei 11896 . . . 4 4 ∈ ℝ
105104sqrtsqi 14725 . . 3 (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106103, 105ax-mp 5 . 2 (√‘(4↑2)) = 4
10710, 102, 1063eqtri 2849 1 (ℜ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086  cexp 13425  cre 14447  csqrt 14583  abscabs 14584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator