Theorem resqrtvalex 44550

Description: Example for resqrtval 44548. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtvalex	⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		5nn0 12573	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12776	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11208	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12387	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11265	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11264	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		resqrtval 44548	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))
11		7nn0 12575	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	3	nn0rei 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
13		8re 12386	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
14		absreim 15405	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
16	4	sqvali 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
18	4	mullidi 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · ;15) = ;15
19		1p1e2 12413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
20		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	11	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
23		7p5e12 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 5) = ;12
24	21, 22, 23	addcomli 11451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 7) = ;12
25	1, 2, 11, 18, 19, 20, 24	decaddci 12827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
26	22	mulridi 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 1) = 5
27	26	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28		5p2e7 12445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 2) = 7
29	27, 28	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
30		5t5e25 12869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
31	2, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30	decmul2c 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · ;15) = ;75
32	3, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31	decmul1c 12831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
33	16, 32	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;15↑2) = ;;225
34	6	sqvali 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
35		8t8e64 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 8) = ;64
36	34, 35	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8↑2) = ;64
37	33, 36	oveq12i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
38	20, 20	deccl 12776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
39		6nn0 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ0
40		4nn0 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;225 = ;;225
42		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;64 = ;64
43		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 = ;22
44	39	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
45		2cn 12365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		6p2e8 12448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
47	44, 45, 46	addcomli 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 6) = 8
48	20, 20, 39, 43, 47	decaddi 12826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 + 6) = ;28
49		5p4e9 12447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 4) = 9
50	38, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49	decadd 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
51	1, 11	deccl 12776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℂ
53	52	sqvali 14269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 = ;17
55		9nn0 12577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
56	1, 1	deccl 12776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
57	52	mullidi 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ;17) = ;17
58		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 = ;11
59		7p1e8 12438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
60	1, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59	decadd 12820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
61	21	mulridi 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 1) = 7
62	61	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63		7p4e11 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
64	62, 63	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
65		7t7e49 12880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 7) = ;49
66	11, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65	decmul2c 12832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
67	51, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66	decmul1c 12831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
68	53, 67	eqtr2i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
69	37, 50, 68	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
70	69	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
71	51	nn0ge0i 12580	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ;17
72	51	nn0rei 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
73	72	sqrtsqi 15487	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
75	15, 70, 74	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
76	12, 13	crrei 15304	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
77	19	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78		2p1e3 12431	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
79	77, 78	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
80	1, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23	decaddc 12821	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = ;32
81	80	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (;32 / 2)
82		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
83	45	mulridi 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
85	84, 78	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
86		6t2e12 12870	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
87	44, 45, 86	mulcomli 11267	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
88	20, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87	decmul2c 12832	. . . . 5 ⊢ (2 · ;16) = ;32
89		3nn0 12571	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
90	89, 20	deccl 12776	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
91	90	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
92	1, 39	deccl 12776	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
93	92	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ ;16 ∈ ℂ
94		2ne0 12396	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
95	91, 45, 93, 94	divmuli 12018	. . . . 5 ⊢ ((;32 / 2) = ;16 ↔ (2 · ;16) = ;32)
96	88, 95	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (;32 / 2) = ;16
97	40	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
98	97	sqvali 14269	. . . . 5 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
99		4t4e16 12865	. . . . 5 ⊢ (4 · 4) = ;16
100	98, 99	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ ;16 = (4↑2)
101	81, 96, 100	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102	101	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
103	40	nn0ge0i 12580	. . 3 ⊢ 0 ≤ 4
104	40	nn0rei 12564	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
105	104	sqrtsqi 15487	. . 3 ⊢ (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106	103, 105	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(4↑2)) = 4
107	10, 102, 106	3eqtri 2787	1 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150  ici 11151   + caddc 11152   · cmul 11154   ≤ cle 11293   / cdiv 11920  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  6c6 12348  7c7 12349  8c8 12350  9c9 12351  ;cdc 12761  ↑cexp 14150  ℜcre 15209  √csqrt 15345  abscabs 15346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348

This theorem is used by: (None)