Theorem resqrtvalex 41466

Description: Example for resqrtval 41464. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtvalex	⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12299	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		5nn0 12303	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12502	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12295	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 10980	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12120	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11032	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11031	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		resqrtval 41464	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))
11		7nn0 12305	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	3	nn0rei 12294	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
13		8re 12119	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
14		absreim 15054	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
15	12, 13, 14	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
16	4	sqvali 13947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
18	4	mulid2i 11030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · ;15) = ;15
19		1p1e2 12148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
20		2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	11	nn0cni 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
23		7p5e12 12564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 5) = ;12
24	21, 22, 23	addcomli 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 7) = ;12
25	1, 2, 11, 18, 19, 20, 24	decaddci 12548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
26	22	mulid1i 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 1) = 5
27	26	oveq1i 7317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28		5p2e7 12179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 2) = 7
29	27, 28	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
30		5t5e25 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
31	2, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30	decmul2c 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · ;15) = ;75
32	3, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31	decmul1c 12552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
33	16, 32	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;15↑2) = ;;225
34	6	sqvali 13947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
35		8t8e64 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 8) = ;64
36	34, 35	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8↑2) = ;64
37	33, 36	oveq12i 7319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
38	20, 20	deccl 12502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
39		6nn0 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ0
40		4nn0 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;225 = ;;225
42		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;64 = ;64
43		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 = ;22
44	39	nn0cni 12295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
45		2cn 12098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		6p2e8 12182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
47	44, 45, 46	addcomli 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 6) = 8
48	20, 20, 39, 43, 47	decaddi 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 + 6) = ;28
49		5p4e9 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 4) = 9
50	38, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49	decadd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
51	1, 11	deccl 12502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℂ
53	52	sqvali 13947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
54		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 = ;17
55		9nn0 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
56	1, 1	deccl 12502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
57	52	mulid2i 11030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ;17) = ;17
58		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 = ;11
59		7p1e8 12172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
60	1, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59	decadd 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
61	21	mulid1i 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 1) = 7
62	61	oveq1i 7317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63		7p4e11 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
64	62, 63	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
65		7t7e49 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 7) = ;49
66	11, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65	decmul2c 12553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
67	51, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66	decmul1c 12552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
68	53, 67	eqtr2i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
69	37, 50, 68	3eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
70	69	fveq2i 6807	. . . . . . 7 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
71	51	nn0ge0i 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ;17
72	51	nn0rei 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
73	72	sqrtsqi 15135	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
75	15, 70, 74	3eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
76	12, 13	crrei 14952	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
77	19	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78		2p1e3 12165	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
79	77, 78	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
80	1, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23	decaddc 12542	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = ;32
81	80	oveq1i 7317	. . . 4 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (;32 / 2)
82		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
83	45	mulid1i 11029	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
85	84, 78	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
86		6t2e12 12591	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
87	44, 45, 86	mulcomli 11034	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
88	20, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87	decmul2c 12553	. . . . 5 ⊢ (2 · ;16) = ;32
89		3nn0 12301	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
90	89, 20	deccl 12502	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
91	90	nn0cni 12295	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
92	1, 39	deccl 12502	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
93	92	nn0cni 12295	. . . . . 6 ⊢ ;16 ∈ ℂ
94		2ne0 12127	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
95	91, 45, 93, 94	divmuli 11779	. . . . 5 ⊢ ((;32 / 2) = ;16 ↔ (2 · ;16) = ;32)
96	88, 95	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (;32 / 2) = ;16
97	40	nn0cni 12295	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
98	97	sqvali 13947	. . . . 5 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
99		4t4e16 12586	. . . . 5 ⊢ (4 · 4) = ;16
100	98, 99	eqtr2i 2765	. . . 4 ⊢ ;16 = (4↑2)
101	81, 96, 100	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102	101	fveq2i 6807	. 2 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
103	40	nn0ge0i 12310	. . 3 ⊢ 0 ≤ 4
104	40	nn0rei 12294	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
105	104	sqrtsqi 15135	. . 3 ⊢ (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106	103, 105	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(4↑2)) = 4
107	10, 102, 106	3eqtri 2768	1 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  ℝcr 10920  0cc0 10921  1c1 10922  ici 10923   + caddc 10924   · cmul 10926   ≤ cle 11060   / cdiv 11682  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  5c5 12081  6c6 12082  7c7 12083  8c8 12084  9c9 12085  ;cdc 12487  ↑cexp 13832  ℜcre 14857  √csqrt 14993  abscabs 14994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996

This theorem is referenced by: (None)