Theorem resqrtvalex 44399

Description: Example for resqrtval 44397. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtvalex	⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		5nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12520	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11163	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12342	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11220	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11219	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		resqrtval 44397	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))
11		7nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	3	nn0rei 12519	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
13		8re 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
14		absreim 15349	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
15	12, 13, 14	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
16	4	sqvali 14221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
18	4	mullidi 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · ;15) = ;15
19		1p1e2 12368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
20		2nn0 12525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	11	nn0cni 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
23		7p5e12 12797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 5) = ;12
24	21, 22, 23	addcomli 11406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 7) = ;12
25	1, 2, 11, 18, 19, 20, 24	decaddci 12781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
26	22	mulridi 11217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 1) = 5
27	26	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28		5p2e7 12400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 2) = 7
29	27, 28	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
30		5t5e25 12823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
31	2, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30	decmul2c 12786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · ;15) = ;75
32	3, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31	decmul1c 12785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
33	16, 32	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;15↑2) = ;;225
34	6	sqvali 14221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
35		8t8e64 12841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 8) = ;64
36	34, 35	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8↑2) = ;64
37	33, 36	oveq12i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
38	20, 20	deccl 12730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
39		6nn0 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ0
40		4nn0 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;225 = ;;225
42		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;64 = ;64
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 = ;22
44	39	nn0cni 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
45		2cn 12320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		6p2e8 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
47	44, 45, 46	addcomli 11406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 6) = 8
48	20, 20, 39, 43, 47	decaddi 12780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 + 6) = ;28
49		5p4e9 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 4) = 9
50	38, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49	decadd 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
51	1, 11	deccl 12730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℂ
53	52	sqvali 14221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 = ;17
55		9nn0 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
56	1, 1	deccl 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
57	52	mullidi 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ;17) = ;17
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 = ;11
59		7p1e8 12393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
60	1, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59	decadd 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
61	21	mulridi 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 1) = 7
62	61	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63		7p4e11 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
64	62, 63	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
65		7t7e49 12834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 7) = ;49
66	11, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65	decmul2c 12786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
67	51, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66	decmul1c 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
68	53, 67	eqtr2i 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
69	37, 50, 68	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
70	69	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
71	51	nn0ge0i 12535	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ;17
72	51	nn0rei 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
73	72	sqrtsqi 15431	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
75	15, 70, 74	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
76	12, 13	crrei 15248	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
77	19	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78		2p1e3 12386	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
79	77, 78	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
80	1, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23	decaddc 12775	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = ;32
81	80	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (;32 / 2)
82		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
83	45	mulridi 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
85	84, 78	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
86		6t2e12 12824	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
87	44, 45, 86	mulcomli 11222	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
88	20, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87	decmul2c 12786	. . . . 5 ⊢ (2 · ;16) = ;32
89		3nn0 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
90	89, 20	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
91	90	nn0cni 12520	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
92	1, 39	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
93	92	nn0cni 12520	. . . . . 6 ⊢ ;16 ∈ ℂ
94		2ne0 12351	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
95	91, 45, 93, 94	divmuli 11973	. . . . 5 ⊢ ((;32 / 2) = ;16 ↔ (2 · ;16) = ;32)
96	88, 95	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (;32 / 2) = ;16
97	40	nn0cni 12520	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
98	97	sqvali 14221	. . . . 5 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
99		4t4e16 12819	. . . . 5 ⊢ (4 · 4) = ;16
100	98, 99	eqtr2i 2787	. . . 4 ⊢ ;16 = (4↑2)
101	81, 96, 100	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102	101	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
103	40	nn0ge0i 12535	. . 3 ⊢ 0 ≤ 4
104	40	nn0rei 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
105	104	sqrtsqi 15431	. . 3 ⊢ (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106	103, 105	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(4↑2)) = 4
107	10, 102, 106	3eqtri 2790	1 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105  ici 11106   + caddc 11107   · cmul 11109   ≤ cle 11248   / cdiv 11875  2c2 12299  3c3 12300  4c4 12301  5c5 12302  6c6 12303  7c7 12304  8c8 12305  9c9 12306  ;cdc 12715  ↑cexp 14102  ℜcre 15153  √csqrt 15289  abscabs 15290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292

This theorem is used by: (None)