Theorem resqrtvalex 44645

Description: Example for resqrtval 44643. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtvalex	⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

Proof of Theorem resqrtvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12622	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		5nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11259	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12440	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11316	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11315	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		resqrtval 44643	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))
11		7nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	3	nn0rei 12617	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
13		8re 12439	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
14		absreim 15460	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
16	4	sqvali 14323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
18	4	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · ;15) = ;15
19		1p1e2 12466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
20		2nn0 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	11	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
23		7p5e12 12896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 5) = ;12
24	21, 22, 23	addcomli 11502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 7) = ;12
25	1, 2, 11, 18, 19, 20, 24	decaddci 12880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
26	22	mulridi 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 1) = 5
27	26	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
28		5p2e7 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 2) = 7
29	27, 28	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
30		5t5e25 12922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
31	2, 1, 2, 17, 2, 20, 29, 30	decmul2c 12885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · ;15) = ;75
32	3, 1, 2, 17, 2, 11, 25, 31	decmul1c 12884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
33	16, 32	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;15↑2) = ;;225
34	6	sqvali 14323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
35		8t8e64 12940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 8) = ;64
36	34, 35	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8↑2) = ;64
37	33, 36	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
38	20, 20	deccl 12829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
39		6nn0 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ0
40		4nn0 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;225 = ;;225
42		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;64 = ;64
43		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 = ;22
44	39	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
45		2cn 12418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		6p2e8 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
47	44, 45, 46	addcomli 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 6) = 8
48	20, 20, 39, 43, 47	decaddi 12879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 + 6) = ;28
49		5p4e9 12500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 4) = 9
50	38, 2, 39, 40, 41, 42, 48, 49	decadd 12873	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
51	1, 11	deccl 12829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℂ
53	52	sqvali 14323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 = ;17
55		9nn0 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
56	1, 1	deccl 12829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
57	52	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ;17) = ;17
58		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 = ;11
59		7p1e8 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
60	1, 11, 1, 1, 57, 58, 19, 59	decadd 12873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
61	21	mulridi 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 1) = 7
62	61	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
63		7p4e11 12895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
64	62, 63	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
65		7t7e49 12933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 · 7) = ;49
66	11, 1, 11, 54, 55, 40, 64, 65	decmul2c 12885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
67	51, 1, 11, 54, 55, 56, 60, 66	decmul1c 12884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
68	53, 67	eqtr2i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
69	37, 50, 68	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
70	69	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
71	51	nn0ge0i 12633	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ;17
72	51	nn0rei 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
73	72	sqrtsqi 15542	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
75	15, 70, 74	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
76	12, 13	crrei 15359	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
77	19	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
78		2p1e3 12484	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
79	77, 78	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
80	1, 11, 1, 2, 75, 76, 79, 20, 23	decaddc 12874	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = ;32
81	80	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (;32 / 2)
82		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
83	45	mulridi 11313	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
85	84, 78	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
86		6t2e12 12923	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
87	44, 45, 86	mulcomli 11318	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
88	20, 1, 39, 82, 20, 1, 85, 87	decmul2c 12885	. . . . 5 ⊢ (2 · ;16) = ;32
89		3nn0 12624	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
90	89, 20	deccl 12829	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
91	90	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ ;32 ∈ ℂ
92	1, 39	deccl 12829	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
93	92	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ ;16 ∈ ℂ
94		2ne0 12449	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
95	91, 45, 93, 94	divmuli 12071	. . . . 5 ⊢ ((;32 / 2) = ;16 ↔ (2 · ;16) = ;32)
96	88, 95	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (;32 / 2) = ;16
97	40	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
98	97	sqvali 14323	. . . . 5 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
99		4t4e16 12918	. . . . 5 ⊢ (4 · 4) = ;16
100	98, 99	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ ;16 = (4↑2)
101	81, 96, 100	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (4↑2)
102	101	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) + (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘(4↑2))
103	40	nn0ge0i 12633	. . 3 ⊢ 0 ≤ 4
104	40	nn0rei 12617	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
105	104	sqrtsqi 15542	. . 3 ⊢ (0 ≤ 4 → (√‘(4↑2)) = 4)
106	103, 105	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(4↑2)) = 4
107	10, 102, 106	3eqtri 2787	1 ⊢ (ℜ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 4

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  7c7 12402  8c8 12403  9c9 12404  ;cdc 12814  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  √csqrt 15400  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by: (None)