Theorem difelfzle 13555

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13534	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 13534	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		nn0z 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		nn0re 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		nn0re 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		subge0 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
11	8, 9, 10	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
12	11	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐾))
13	7, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
14	13	exp31 419	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
15	1, 2, 14	syl2im 40	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
16	15	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17		elnn0z 12499	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0)
19		elfz3nn0 13535	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		elfz2nn0 13532	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23		resubcl 11443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
25	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26		nn0re 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		nn0ge0 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31		subge02 11651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
32	22, 9, 31	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀)
34		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
37	21, 36	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	1, 37	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	38	a1dd 50	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
40	39	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
41		elfz2nn0 13532	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14746