MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difelfzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelfzle 13015
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12995 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 elfznn0 12995 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 nn0z 11993 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
4 nn0z 11993 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 zsubcl 12012 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
76adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
8 nn0re 11894 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
9 nn0re 11894 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 subge0 11142 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
118, 9, 10syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
1211biimpar 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐾))
137, 12jca 515 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1413exp31 423 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
151, 2, 14syl2im 40 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
16153imp 1108 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
17 elnn0z 11982 . . 3 ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1816, 17sylibr 237 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℕ0)
19 elfz3nn0 12996 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20193ad2ant1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 elfz2nn0 12993 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2283ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23 resubcl 10939 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2422, 9, 23syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2522adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26 nn0re 11894 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27263ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2827adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 nn0ge0 11910 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
3029adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31 subge02 11145 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3222, 9, 31syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3330, 32mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑀)
34 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑁)
3524, 25, 28, 33, 34letrd 10786 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
3635ex 416 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3721, 36sylbi 220 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
381, 37syl5com 31 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3938a1dd 50 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)))
40393imp 1108 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
41 elfz2nn0 12993 . 2 ((𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1340 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  cle 10665  cmin 10859  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14178
  Copyright terms: Public domain W3C validator