Theorem difelfzle 13815

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13794	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 13794	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		nn0z 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		nn0re 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		nn0re 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		subge0 11869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
11	8, 9, 10	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
12	11	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐾))
13	7, 12	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
14	13	exp31 425	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
15	1, 2, 14	syl2im 41	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
16	15	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17		elnn0z 12746	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0)
19		elfz3nn0 13795	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		elfz2nn0 13792	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23		resubcl 11661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
25	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26		nn0re 12655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		nn0ge0 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31		subge02 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
32	22, 9, 31	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
33	30, 32	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀)
34		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 11506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
36	35	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
37	21, 36	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	1, 37	syl5com 32	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	38	a1dd 51	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
40	39	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
41		elfz2nn0 13792	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  2cshwcshw  15018