Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccp1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccp1k 43750
Description: Generalized binomial coefficient: ๐ถ choose (๐พ + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
bccval.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
bccp1k (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ + 1)) = ((๐ถC๐‘๐พ) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))))

Proof of Theorem bccp1k
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 bccval.k . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 fallfacp1 16000 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โˆ’ ๐พ)))
41, 2, 3syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โˆ’ ๐พ)))
5 facp1 14263 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ + 1)) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐พ + 1)))
62, 5syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ + 1)) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐พ + 1)))
74, 6oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ FallFac (๐พ + 1)) / (!โ€˜(๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โˆ’ ๐พ)) / ((!โ€˜๐พ) ยท (๐พ + 1))))
8 peano2nn0 12536 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
92, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
101, 9bccval 43747 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ + 1)) / (!โ€˜(๐พ + 1))))
11 fallfaccl 15986 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
121, 2, 11syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
13 faccl 14268 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
142, 13syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12252 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
162nn0cnd 12558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
171, 16subcld 11595 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
189nn0cnd 12558 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„‚)
1914nnne0d 12286 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
20 nn0p1nn 12535 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
212, 20syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
2221nnne0d 12286 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โ‰  0)
2312, 15, 17, 18, 19, 22divmuldivd 12055 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โˆ’ ๐พ)) / ((!โ€˜๐พ) ยท (๐พ + 1))))
247, 10, 233eqtr4d 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ + 1)) = (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))))
251, 2bccval 43747 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
2625oveq1d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถC๐‘๐พ) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))))
2724, 26eqtr4d 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ + 1)) = ((๐ถC๐‘๐พ) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  โ„•cn 12236  โ„•0cn0 12496  !cfa 14258   FallFac cfallfac 15974  C๐‘cbcc 43745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-fallfac 15977  df-bcc 43746
This theorem is referenced by:  bccm1k  43751  bccn1  43753  binomcxplemfrat  43760  binomcxplemnotnn0  43765
  Copyright terms: Public domain W3C validator