Theorem bccp1k 43589

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccp1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		fallfacp1 15971	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
5		facp1 14235	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8		peano2nn0 12509	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
10	1, 9	bccval 43586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11		fallfaccl 15957	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13		faccl 14240	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
16	2	nn0cnd 12531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
18	9	nn0cnd 12531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20		nn0p1nn 12508	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
23	12, 15, 17, 18, 19, 22	divmuldivd 12028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
24	7, 10, 23	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
25	1, 2	bccval 43586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
26	25	oveq1d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
27	24, 26	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  !cfa 14230   FallFac cfallfac 15945  C_𝑐cbcc 43584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847  df-fallfac 15948  df-bcc 43585

This theorem is referenced by:  bccm1k  43590  bccn1  43592  binomcxplemfrat  43599  binomcxplemnotnn0  43604