Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccp1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccp1k 40550
Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccp1k (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 fallfacp1 15372 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
5 facp1 13626 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
74, 6oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8 peano2nn0 11925 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
101, 9bccval 40547 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11 fallfaccl 15358 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
121, 2, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13 faccl 13631 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1514nncnd 11642 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
162nn0cnd 11945 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
171, 16subcld 10985 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
189nn0cnd 11945 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11675 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20 nn0p1nn 11924 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11675 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
2312, 15, 17, 18, 19, 22divmuldivd 11445 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
247, 10, 233eqtr4d 2863 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
251, 2bccval 40547 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
2625oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
2724, 26eqtr4d 2856 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  !cfa 13621   FallFac cfallfac 15346  C𝑐cbcc 40545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248  df-fallfac 15349  df-bcc 40546
This theorem is referenced by:  bccm1k  40551  bccn1  40553  binomcxplemfrat  40560  binomcxplemnotnn0  40565
  Copyright terms: Public domain W3C validator