Theorem bccp1k 45419

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccp1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		fallfacp1 16202	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
5		facp1 14426	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8		peano2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
10	1, 9	bccval 45416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11		fallfaccl 16189	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13		faccl 14431	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
16	2	nn0cnd 12673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
18	9	nn0cnd 12673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20		nn0p1nn 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
23	12, 15, 17, 18, 19, 22	divmuldivd 12138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
24	7, 10, 23	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
25	1, 2	bccval 45416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
26	25	oveq1d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
27	24, 26	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  !cfa 14421   FallFac cfallfac 16177  C_𝑐cbcc 45414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-prod 16079  df-fallfac 16180  df-bcc 45415

This theorem is used by:  bccm1k  45420  bccn1  45422  binomcxplemfrat  45429  binomcxplemnotnn0  45434