Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccp1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccp1k 41032
Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccp1k (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 fallfacp1 15379 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
41, 2, 3syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
5 facp1 13638 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
74, 6oveq12d 7157 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8 peano2nn0 11929 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
101, 9bccval 41029 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11 fallfaccl 15365 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
121, 2, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13 faccl 13643 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1514nncnd 11645 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
162nn0cnd 11949 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
171, 16subcld 10990 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
189nn0cnd 11949 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11679 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20 nn0p1nn 11928 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11679 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
2312, 15, 17, 18, 19, 22divmuldivd 11450 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
247, 10, 233eqtr4d 2846 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
251, 2bccval 41029 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
2625oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
2724, 26eqtr4d 2839 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  0cn0 11889  !cfa 13633   FallFac cfallfac 15353  C𝑐cbcc 41027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-prod 15255  df-fallfac 15356  df-bcc 41028
This theorem is referenced by:  bccm1k  41033  bccn1  41035  binomcxplemfrat  41042  binomcxplemnotnn0  41047
  Copyright terms: Public domain W3C validator