Theorem bccp1k 45284

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccp1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		fallfacp1 16176	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
5		facp1 14402	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8		peano2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
10	1, 9	bccval 45281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11		fallfaccl 16163	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13		faccl 14407	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
16	2	nn0cnd 12650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
18	9	nn0cnd 12650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20		nn0p1nn 12626	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
23	12, 15, 17, 18, 19, 22	divmuldivd 12115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
24	7, 10, 23	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
25	1, 2	bccval 45281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
26	25	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
27	24, 26	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  !cfa 14397   FallFac cfallfac 16151  C_𝑐cbcc 45279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-prod 16053  df-fallfac 16154  df-bcc 45280

This theorem is used by:  bccm1k  45285  bccn1  45287  binomcxplemfrat  45294  binomcxplemnotnn0  45299