Theorem bccp1k 43750

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccp1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		fallfacp1 16000	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
5		facp1 14263	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8		peano2nn0 12536	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
10	1, 9	bccval 43747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11		fallfaccl 15986	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13		faccl 14268	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
16	2	nn0cnd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
18	9	nn0cnd 12558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20		nn0p1nn 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
23	12, 15, 17, 18, 19, 22	divmuldivd 12055	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
24	7, 10, 23	3eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
25	1, 2	bccval 43747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
26	25	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
27	24, 26	eqtr4d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   − cmin 11468   / cdiv 11895  ℕcn 12236  ℕ₀cn0 12496  !cfa 14258   FallFac cfallfac 15974  C_𝑐cbcc 43745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-fallfac 15977  df-bcc 43746

This theorem is referenced by:  bccm1k  43751  bccn1  43753  binomcxplemfrat  43760  binomcxplemnotnn0  43765