Theorem bccp1k 43090

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccp1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		fallfacp1 15973	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)))
5		facp1 14237	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8		peano2nn0 12511	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
10	1, 9	bccval 43087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11		fallfaccl 15959	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
12	1, 2, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13		faccl 14242	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
16	2	nn0cnd 12533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
18	9	nn0cnd 12533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20		nn0p1nn 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
23	12, 15, 17, 18, 19, 22	divmuldivd 12030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶 − 𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
24	7, 10, 23	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
25	1, 2	bccval 43087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
26	25	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
27	24, 26	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶 − 𝐾) / (𝐾 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  !cfa 14232   FallFac cfallfac 15947  C_𝑐cbcc 43085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-fallfac 15950  df-bcc 43086

This theorem is referenced by:  bccm1k  43091  bccn1  43093  binomcxplemfrat  43100  binomcxplemnotnn0  43105