![]() |
Mathbox for Steve Rodriguez |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > bccp1k | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Generalized binomial coefficient: ๐ถ choose (๐พ + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
bccval.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
bccval.k | โข (๐ โ ๐พ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
bccp1k | โข (๐ โ (๐ถC๐(๐พ + 1)) = ((๐ถC๐๐พ) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bccval.c | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
2 | bccval.k | . . . . 5 โข (๐ โ ๐พ โ โ0) | |
3 | fallfacp1 16000 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐พ โ โ0) โ (๐ถ FallFac (๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โ ๐พ))) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ FallFac (๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โ ๐พ))) |
5 | facp1 14263 | . . . . 5 โข (๐พ โ โ0 โ (!โ(๐พ + 1)) = ((!โ๐พ) ยท (๐พ + 1))) | |
6 | 2, 5 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (!โ(๐พ + 1)) = ((!โ๐พ) ยท (๐พ + 1))) |
7 | 4, 6 | oveq12d 7432 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ FallFac (๐พ + 1)) / (!โ(๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โ ๐พ)) / ((!โ๐พ) ยท (๐พ + 1)))) |
8 | peano2nn0 12536 | . . . . 5 โข (๐พ โ โ0 โ (๐พ + 1) โ โ0) | |
9 | 2, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐พ + 1) โ โ0) |
10 | 1, 9 | bccval 43747 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถC๐(๐พ + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ + 1)) / (!โ(๐พ + 1)))) |
11 | fallfaccl 15986 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐พ โ โ0) โ (๐ถ FallFac ๐พ) โ โ) | |
12 | 1, 2, 11 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ FallFac ๐พ) โ โ) |
13 | faccl 14268 | . . . . . 6 โข (๐พ โ โ0 โ (!โ๐พ) โ โ) | |
14 | 2, 13 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (!โ๐พ) โ โ) |
15 | 14 | nncnd 12252 | . . . 4 โข (๐ โ (!โ๐พ) โ โ) |
16 | 2 | nn0cnd 12558 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐พ โ โ) |
17 | 1, 16 | subcld 11595 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ โ ๐พ) โ โ) |
18 | 9 | nn0cnd 12558 | . . . 4 โข (๐ โ (๐พ + 1) โ โ) |
19 | 14 | nnne0d 12286 | . . . 4 โข (๐ โ (!โ๐พ) โ 0) |
20 | nn0p1nn 12535 | . . . . . 6 โข (๐พ โ โ0 โ (๐พ + 1) โ โ) | |
21 | 2, 20 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐พ + 1) โ โ) |
22 | 21 | nnne0d 12286 | . . . 4 โข (๐ โ (๐พ + 1) โ 0) |
23 | 12, 15, 17, 18, 19, 22 | divmuldivd 12055 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ๐พ)) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) ยท (๐ถ โ ๐พ)) / ((!โ๐พ) ยท (๐พ + 1)))) |
24 | 7, 10, 23 | 3eqtr4d 2777 | . 2 โข (๐ โ (๐ถC๐(๐พ + 1)) = (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ๐พ)) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1)))) |
25 | 1, 2 | bccval 43747 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถC๐๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ๐พ))) |
26 | 25 | oveq1d 7429 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถC๐๐พ) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1))) = (((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ๐พ)) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1)))) |
27 | 24, 26 | eqtr4d 2770 | 1 โข (๐ โ (๐ถC๐(๐พ + 1)) = ((๐ถC๐๐พ) ยท ((๐ถ โ ๐พ) / (๐พ + 1)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcc 11130 1c1 11133 + caddc 11135 ยท cmul 11137 โ cmin 11468 / cdiv 11895 โcn 12236 โ0cn0 12496 !cfa 14258 FallFac cfallfac 15974 C๐cbcc 43745 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9658 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9459 df-oi 9527 df-card 9956 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-n0 12497 df-z 12583 df-uz 12847 df-rp 13001 df-fz 13511 df-fzo 13654 df-seq 13993 df-exp 14053 df-fac 14259 df-hash 14316 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-clim 15458 df-prod 15876 df-fallfac 15977 df-bcc 43746 |
This theorem is referenced by: bccm1k 43751 bccn1 43753 binomcxplemfrat 43760 binomcxplemnotnn0 43765 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |