Theorem efaddlem 16148

Description: Lemma for efadd 16149 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		efadd.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	efcvg 16140	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7		efadd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftval 16131	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
9	8	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
10		absexp 15357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
11	1, 10	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12		faccl 14321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
13	12	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14		nnre 12241	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15		nnnn0 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
17	14, 16	absidd 15476	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
18	13, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
19	11, 18	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20		expcl 14117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
21	1, 20	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
22	13	nncnd 12250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
23	13	nnne0d 12287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ≠ 0)
24	21, 22, 23	absdivd 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
26	25	eftval 16131	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
27	26	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
28	19, 24, 27	3eqtr4rd 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))))
29		eftcl 16128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
30	1, 29	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
31		efadd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
32	31	eftval 16131	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
33	32	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
34		eftcl 16128	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
35	2, 34	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	4	eftval 16131	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	36	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38	1	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41		binom 15886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
43	42	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
44		fzfid 14011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
45		faccl 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
46	45	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
48		bccl2 14361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
49	48	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
51	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52		fznn0sub 13586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
53	52	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
54	51, 53	expcld 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
55	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		elfznn0 13650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
57	56	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
58	55, 57	expcld 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) ∈ ℂ)
60	50, 59	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) ∈ ℂ)
61	46	nnne0d 12287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≠ 0)
62	44, 47, 60, 61	fsumdivc 15839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
63	51, 57	expcld 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
64	57, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
65	64	nncnd 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
66	64	nnne0d 12287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ≠ 0)
67	63, 65, 66	divcld 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
68	31	eftval 16131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
69	53, 68	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
70	55, 53	expcld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
71		faccl 14321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
72	53, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
74	72	nnne0d 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ≠ 0)
75	70, 73, 74	divcld 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
76	69, 75	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
77	67, 76	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
78		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
79		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
80	78, 79	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
81		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘 − 𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
82	81	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
83	80, 82	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
84	77, 83	fsumrev2 15835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
85	31	eftval 16131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
86	57, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
87	86	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
88	72, 64	nnmulcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
89	88	nncnd 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
90	88	nnne0d 12287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ≠ 0)
91	59, 89, 90	divrec2d 11996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
92	54, 73, 58, 65, 74, 66	divmuldivd 12033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
93		bcval2 14343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
94	93	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
95	94	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
96	47	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
97	61	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
98	96, 89, 96, 90, 97	divdiv32d 12017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
99	96, 97	dividd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
100	99	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
101	98, 100	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
102	95, 101	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
103	102	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
104	91, 92, 103	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
105	87, 104	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
106		nn0cn 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
107	106	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
108	107	addlidd 11412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
109	108	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘 − 𝑗))
110	109	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)))
111	109	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘 − 𝑗)))
112	110, 111	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
113	109	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)))
114		nn0cn 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
115	57, 114	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
116	107, 115	nncand 11575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)) = 𝑗)
117	113, 116	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
118	117	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘𝑗))
119	112, 118	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)))
120	50, 59, 96, 97	div23d 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
121	105, 119, 120	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
122	121	sumeq2dv 15755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
123		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
124	123	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
125	123	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
126	124, 125	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
127	123	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
128	127	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
129	126, 128	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
130	129	cbvsumv 15749	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131	122, 130	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
132	84, 131	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
133	62, 132	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
134	43, 133	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
135	37, 134	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
136	1	abscld 15492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
137	136	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
138	25	efcllem 16132	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
139	137, 138	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
140	31	efcllem 16132	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
141	2, 140	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
142	9, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141	mertens 15942	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
143		efval 16134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
144	1, 143	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
145		efval 16134	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
146	2, 145	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
147	144, 146	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
148	142, 147	breqtrrd 5140	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
149		climuni 15605	. 2 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
150	6, 148, 149	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  !cfa 14311  Ccbc 14340  abscabs 15287   ⇝ cli 15537  Σcsu 15739  expce 16116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122

This theorem is referenced by:  efadd  16149