MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efaddlem 16043
Description: Lemma for efadd 16044 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ตโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.3 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
efadd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   ๐บ(๐‘›)   ๐ป(๐‘›)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 efadd.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2addcld 11237 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 efadd.3 . . . 4 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
54efcvg 16035 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)))
63, 5syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)))
7 efadd.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
87eftval 16026 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
98adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
10 absexp 15257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—))
111, 10sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—))
12 faccl 14248 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
14 nnre 12223 . . . . . . . 8 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
15 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•0)
1615nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘—))
1714, 16absidd 15375 . . . . . . 7 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(!โ€˜๐‘—)) = (!โ€˜๐‘—))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜๐‘—)) = (!โ€˜๐‘—))
1911, 18oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) / (absโ€˜(!โ€˜๐‘—))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
20 expcl 14050 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
211, 20sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2213nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2313nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โ‰  0)
2421, 22, 23absdivd 15408 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) / (absโ€˜(!โ€˜๐‘—))))
25 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
2625eftval 16026 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
2726adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
2819, 24, 273eqtr4rd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
29 eftcl 16023 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
301, 29sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
31 efadd.2 . . . . . 6 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ตโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
3231eftval 16026 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3332adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
34 eftcl 16023 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
352, 34sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
364eftval 16026 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3736adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
381adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
392adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
40 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
41 binom 15782 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
4342oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
44 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
45 faccl 14248 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4645adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4746nncnd 12232 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
48 bccl2 14288 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„•)
4948adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„•)
5049nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„‚)
511ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52 fznn0sub 13539 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
5451, 53expcld 14116 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
552ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
56 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
5855, 57expcld 14116 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
5954, 58mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
6050, 59mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
6146nnne0d 12266 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 15738 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
6351, 57expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
6457, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
6564nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
6664nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โ‰  0)
6763, 65, 66divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
6831eftval 16026 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
6953, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
7055, 53expcld 14116 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
71 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„•)
7253, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„•)
7372nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7472nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โ‰  0)
7570, 73, 74divcld 11994 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
7669, 75eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7767, 76mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
78 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
79 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
8078, 79oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) = ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
81 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
8281fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
8380, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
8477, 83fsumrev2 15734 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
8531eftval 16026 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
8657, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
8786oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
8872, 64nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•)
8988nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
9088nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โ‰  0)
9159, 89, 90divrec2d 11998 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) = ((1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 12035 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
93 bcval2 14270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9594oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
9647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9761adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 12019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9996, 97dividd 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1)
10099oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
10198, 100eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
10295, 101eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
103102oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) = ((1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
10491, 92, 1033eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
10587, 104eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)) = (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
106 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
107106ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
108107addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (0 + ๐‘˜) = ๐‘˜)
109108oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—) = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))
110109oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
111109fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
112110, 111oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
113109oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐‘˜ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
114 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
11557, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
116107, 115nncand 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ๐‘—)
117113, 116eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = ๐‘—)
118117fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = (๐บโ€˜๐‘—))
119112, 118oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
12050, 59, 96, 97div23d 12031 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
121105, 119, 1203eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))))
122121sumeq2dv 15655 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))))
123 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—) = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))
124123oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
125123fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
126124, 125oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
127123oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
128127fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
129126, 128oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
130129cbvsumv 15648 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
131122, 130eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
13284, 131eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
13362, 132eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
13443, 133eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
13537, 134eqtrd 2766 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
1361abscld 15389 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
137136recnd 11246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
13825efcllem 16027 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
139137, 138syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
14031efcllem 16027 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
1412, 140syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 15838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
143 efval 16029 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
1441, 143syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
145 efval 16029 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
1462, 145syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
147144, 146oveq12d 7423 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
148142, 147breqtrrd 5169 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
149 climuni 15502 . 2 ((seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆง seq0( + , ๐ป) โ‡ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต))) โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
1506, 148, 149syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13490  seqcseq 13972  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ccbc 14267  abscabs 15187   โ‡ cli 15434  ฮฃcsu 15638  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017
This theorem is referenced by:  efadd  16044
  Copyright terms: Public domain W3C validator