MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efaddlem 15980
Description: Lemma for efadd 15981 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ตโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.3 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efadd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
efadd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   ๐บ(๐‘›)   ๐ป(๐‘›)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 efadd.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2addcld 11179 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 efadd.3 . . . 4 ๐ป = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
54efcvg 15972 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)))
63, 5syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)))
7 efadd.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
87eftval 15964 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
98adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
10 absexp 15195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—))
111, 10sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—))
12 faccl 14189 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
14 nnre 12165 . . . . . . . 8 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
15 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•0)
1615nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘—))
1714, 16absidd 15313 . . . . . . 7 ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(!โ€˜๐‘—)) = (!โ€˜๐‘—))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜๐‘—)) = (!โ€˜๐‘—))
1911, 18oveq12d 7376 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) / (absโ€˜(!โ€˜๐‘—))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
20 expcl 13991 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
211, 20sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2213nncnd 12174 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2313nnne0d 12208 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โ‰  0)
2421, 22, 23absdivd 15346 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) / (absโ€˜(!โ€˜๐‘—))))
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
2625eftval 15964 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
2726adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
2819, 24, 273eqtr4rd 2784 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘—) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
29 eftcl 15961 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
301, 29sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
31 efadd.2 . . . . . 6 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ตโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
3231eftval 15964 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3332adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
34 eftcl 15961 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
352, 34sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
364eftval 15964 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3736adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
381adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
392adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
40 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
41 binom 15720 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
4342oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
44 fzfid 13884 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
45 faccl 14189 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4645adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4746nncnd 12174 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
48 bccl2 14229 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„•)
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„•)
5049nncnd 12174 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) โˆˆ โ„‚)
511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
5451, 53expcld 14057 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
552ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
56 elfznn0 13540 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
5855, 57expcld 14057 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
5954, 58mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
6050, 59mulcld 11180 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
6146nnne0d 12208 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 15676 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
6351, 57expcld 14057 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
6457, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•)
6564nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
6664nnne0d 12208 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘—) โ‰  0)
6763, 65, 66divcld 11936 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
6831eftval 15964 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
6953, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
7055, 53expcld 14057 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
71 faccl 14189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„•)
7253, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„•)
7372nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7472nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โ‰  0)
7570, 73, 74divcld 11936 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
7669, 75eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7767, 76mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
78 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
79 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
8078, 79oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) = ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
81 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
8281fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
8380, 82oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
8477, 83fsumrev2 15672 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
8531eftval 15964 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
8657, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
8786oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
8872, 64nnmulcld 12211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•)
8988nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
9088nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—)) โ‰  0)
9159, 89, 90divrec2d 11940 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) = ((1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
93 bcval2 14211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜C๐‘—) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9594oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
9647adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9761adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 11961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
9996, 97dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1)
10099oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
10198, 100eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
10295, 101eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) = (1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))))
103102oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) = ((1 / ((!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (!โ€˜๐‘—))) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
10491, 92, 1033eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท ((๐ตโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—))))
10587, 104eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)) = (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
106 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
107106ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
108107addid2d 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (0 + ๐‘˜) = ๐‘˜)
109108oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—) = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))
110109oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
111109fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
112110, 111oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
113109oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐‘˜ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)))
114 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
11557, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
116107, 115nncand 11522 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) = ๐‘—)
117113, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = ๐‘—)
118117fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = (๐บโ€˜๐‘—))
119112, 118oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = (((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜๐‘—)))
12050, 59, 96, 97div23d 11973 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((๐‘˜C๐‘—) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))))
121105, 119, 1203eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))))
122121sumeq2dv 15593 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))))
123 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—) = ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))
124123oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
125123fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
126124, 125oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = ((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
127123oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) = (๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))
128127fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) = (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
129126, 128oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = (((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
130129cbvsumv 15586 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘—)))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))))
131122, 130eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)) / (!โ€˜((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š))) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ((0 + ๐‘˜) โˆ’ ๐‘š)))))
13284, 131eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)))
13362, 132eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘˜C๐‘—) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
13443, 133eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
13537, 134eqtrd 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))
1361abscld 15327 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
137136recnd 11188 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
13825efcllem 15965 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
139137, 138syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
14031efcllem 15965 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
1412, 140syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 15776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
143 efval 15967 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
1441, 143syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)))
145 efval 15967 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
1462, 145syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
147144, 146oveq12d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((๐ดโ†‘๐‘—) / (!โ€˜๐‘—)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
148142, 147breqtrrd 5134 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
149 climuni 15440 . 2 ((seq0( + , ๐ป) โ‡ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆง seq0( + , ๐ป) โ‡ ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต))) โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
1506, 148, 149syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((expโ€˜๐ด) ยท (expโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  Ccbc 14208  abscabs 15125   โ‡ cli 15372  ฮฃcsu 15576  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955
This theorem is referenced by:  efadd  15981
  Copyright terms: Public domain W3C validator