cubic2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem cubic2 25998

Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices 𝐺 and 𝑇 of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cubic2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cubic2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cubic2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cubic2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
cubic2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cubic2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
cubic2.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
cubic2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
cubic2.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
cubic2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
cubic2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
cubic2.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
cubic2	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑟 𝐵,𝑟 𝑀,𝑟 𝑁,𝑟 𝜑,𝑟 𝑇,𝑟 𝑋,𝑟 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑟) 𝐷(𝑟) 𝐺(𝑟)

**Proof of Theorem cubic2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cubic2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cubic2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		3nn0 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4		expcl 13800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
7		cubic2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	2	sqcld 13862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
10	6, 9	addcld 10994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
11		cubic2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 2	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
13		cubic2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
14	12, 13	addcld 10994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ ℂ)
15	10, 14	addcld 10994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) ∈ ℂ)
16		cubic2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
17	15, 1, 16	diveq0ad 11761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0))
18	10, 14, 1, 16	divdird 11789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)))
19	6, 9, 1, 16	divdird 11789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)))
20	5, 1, 16	divcan3d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) = (𝑋↑3))
21	7, 8, 1, 16	div23d 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2)))
22	20, 21	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
23	19, 22	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
24	12, 13, 1, 16	divdird 11789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)))
25	11, 2, 1, 16	div23d 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐶 / 𝐴) · 𝑋))
26	25	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
27	24, 26	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
28	23, 27	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
29	18, 28	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
30	29	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
31	17, 30	bitr3d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
32	7, 1, 16	divcld 11751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	11, 1, 16	divcld 11751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 1, 16	divcld 11751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) ∈ ℂ)
35		cubic2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
36	35, 1, 16	divcld 11751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ∈ ℂ)
37	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
38	35, 1, 16, 37	expdivd 13878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)))
39		cubic2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
40	39	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)))
41		cubic2.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
42		2cn 12048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expcl 13800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
44	7, 3, 43	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
45		mulcl 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
46	42, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
47		9cn 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
48		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
49	47, 1, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
50	7, 11	mulcld 10995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
51	49, 50	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
52	46, 51	subcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
53		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
54		7nn 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
55	53, 54	decnncl 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
56	55	nncni 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℂ
57	1	sqcld 13862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
58	57, 13	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
59		mulcl 10955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ) → (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
61	52, 60	addcld 10994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) ∈ ℂ)
62	41, 61	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
63		cubic2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
64	62, 63	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐺) ∈ ℂ)
65		2cnd 12051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66		expcl 13800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
67	1, 3, 66	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
68		2ne0 12077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
70		3z 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
72	1, 16, 71	expne0d 13870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ≠ 0)
73	64, 65, 67, 69, 72	divdiv32d 11776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2))
74	62, 63, 67, 72	divdird 11789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) = ((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))))
75	74	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
76	73, 75	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
77	38, 40, 76	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
78	63, 67, 72	divcld 11751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 / (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
79	63, 67, 72	sqdivd 13877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
80		cubic2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
81	80	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)))
82	62	sqcld 13862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
83		4cn 12058	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
84		cubic2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
85	7	sqcld 13862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
86		3cn 12054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
87	1, 11	mulcld 10995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
88		mulcl 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
90	85, 89	subcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
91	84, 90	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
92		expcl 13800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
93	91, 3, 92	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
94		mulcl 10955	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
95	83, 93, 94	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
96	67	sqcld 13862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ∈ ℂ)
97		sqne0 13843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
98	67, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
99	72, 98	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ≠ 0)
100	82, 95, 96, 99	divsubdird 11790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
101	62, 67, 72	sqdivd 13877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
102		2z 12352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
104	1, 16, 103	expne0d 13870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ≠ 0)
105	91, 57, 104, 37	expdivd 13878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)))
106	42, 86	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
107	106	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴↑(2 · 3)) = (𝐴↑(3 · 2))
108	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
109	1, 37, 108	expmuld 13867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 · 3)) = ((𝐴↑2)↑3))
110	1, 108, 37	expmuld 13867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(3 · 2)) = ((𝐴↑3)↑2))
111	107, 109, 110	3eqtr3a 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2)↑3) = ((𝐴↑3)↑2))
112	111	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
113	105, 112	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
114	113	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
115	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116	115, 93, 96, 99	divassd 11786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
117	114, 116	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)))
118	101, 117	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
119	100, 118	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
120	79, 81, 119	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
121	85, 89, 57, 104	divsubdird 11790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
122	84	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)))
123	7, 1, 16	sqdivd 13877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐴↑2)))
124	1	sqvald 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
125	124	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
126	11, 1, 1, 16, 16	divcan5d 11777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
127	125, 126	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
128	127	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
129	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
130	129, 87, 57, 104	divassd 11786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
131	128, 130	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)))
132	123, 131	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
133	121, 122, 132	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))))
134	52, 60, 67, 72	divdird 11789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
135	41	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)))
136	7, 1, 16, 37	expdivd 13878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑3) = ((𝐵↑3) / (𝐴↑3)))
137	136	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
138	65, 44, 67, 72	divassd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
139	137, 138	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)))
140	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
141	1, 50	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
142	140, 141, 67, 72	divassd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
143	140, 1, 50	mulassd 10998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) = (9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))))
144	143	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
145	50, 57, 1, 104, 16	divcan5d 11777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
146		df-3 12037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
147	146	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
148		expp1 13789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
149	1, 53, 148	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
150	147, 149	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
151	57, 1	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
152	150, 151	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
153	152	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))))
154	7, 1, 11, 1, 16, 16	divmuldivd 11792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
155	124	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
156	154, 155	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
157	145, 153, 156	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
158	157	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
159	142, 144, 158	3eqtr4rd 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
160	139, 159	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
161	46, 51, 67, 72	divsubdird 11790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
162	160, 161	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
163	150	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)))
164	13, 1, 57, 16, 104	divcan5d 11777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)) = (𝐷 / 𝐴))
165	163, 164	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)))
166	165	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝐷 / 𝐴)) = (;27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
167	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;27 ∈ ℂ)
168	167, 58, 67, 72	divassd 11786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)) = (;27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
169	166, 168	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝐷 / 𝐴)) = ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)))
170	162, 169	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (;27 · (𝐷 / 𝐴))) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
171	134, 135, 170	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (;27 · (𝐷 / 𝐴))))
172		cubic2.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
173	35, 1, 172, 16	divne0d 11767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ≠ 0)
174	32, 33, 34, 2, 36, 77, 78, 120, 133, 171, 173	mcubic 25997	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3))))
175		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = (0↑3))
176		3nn 12052	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
177		0exp 13818	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
178	176, 177	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑3) = 0
179	175, 178	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = 0)
180		0ne1 12044	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → 0 ≠ 1)
182	179, 181	eqnetrd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) ≠ 1)
183	182	necon2i 2978	. . . . 5 ⊢ ((𝑟↑3) = 1 → 𝑟 ≠ 0)
184		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ)
185	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℂ)
186	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
187	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
188	184, 185, 186, 187	divassd 11786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴) = (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))
189	188	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)) = ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴))
190	189	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
191	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
192	184, 185	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ∈ ℂ)
193	191, 192, 186, 187	divdird 11789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
194	190, 193	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
195	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
196	195, 186, 187	divcld 11751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / 𝐴) ∈ ℂ)
197		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ≠ 0)
198	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ≠ 0)
199	184, 185, 197, 198	mulne0d 11627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ≠ 0)
200	196, 192, 186, 199, 187	divcan7d 11779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)))
201	195, 186, 186, 187, 187	divdiv1d 11782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
202	186	sqvald 13861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
203	202	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
204	201, 203	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴↑2)))
205	204, 188	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))))
206	195, 186, 192, 187, 199	divdiv32d 11776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
207	200, 205, 206	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
208	194, 207	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
209	191, 192	addcld 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
210	195, 192, 199	divcld 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
211	209, 210, 186, 187	divdird 11789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
212	208, 211	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴))
213	212	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3))
214	209, 210	addcld 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ∈ ℂ)
215	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ∈ ℂ)
216		3ne0 12079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
217	216	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ≠ 0)
218	214, 186, 215, 187, 217	divdiv1d 11782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)))
219		mulcom 10957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
220	186, 86, 219	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
221	220	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
222	213, 218, 221	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
223	222	negeqd 11215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
224	223	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
225	224	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
226	183, 225	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ (𝑟↑3) = 1) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
227	226	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
228	227	rexbidva 3225	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
229	31, 174, 228	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3065 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 3c3 12029 4c4 12030 7c7 12033 9c9 12035 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 cdc 12437 ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-sup 9201 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-rp 12731 df-seq 13722 df-exp 13783 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-dvds 15964

This theorem is referenced by: cubic 25999

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