MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanaddlem 16111
Description: A useful intermediate step in tanadd 16112 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanaddlem (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) β‰  0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) β‰  1))

Proof of Theorem tanaddlem
StepHypRef Expression
1 coscl 16072 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3 coscl 16072 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
43ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
52, 4mulcld 11236 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
6 sincl 16071 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
76ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8 sincl 16071 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
98ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
107, 9mulcld 11236 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
115, 10subeq0ad 11583 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = 0 ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
12 cosadd 16110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
1312adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
1413eqeq1d 2734 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = 0 ↔ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = 0))
15 tanval 16073 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
1615ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
17 tanval 16073 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΅) = ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅)))
1817ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (tanβ€˜π΅) = ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅)))
1916, 18oveq12d 7429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)) Β· ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅))))
20 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
21 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΅) β‰  0)
227, 2, 9, 4, 20, 21divmuldivd 12033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)) Β· ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
2319, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
2423eqeq1d 2734 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1 ↔ (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = 1))
25 1cnd 11211 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
262, 4, 20, 21mulne0d 11868 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) β‰  0)
2710, 5, 25, 26divmuld 12014 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = 1 ↔ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
285mulridd 11233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))
2928eqeq1d 2734 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
3024, 27, 293bitrd 304 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1 ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
3111, 14, 303bitr4d 310 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = 0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1))
3231necon3bid 2985 1 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) β‰  0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  sincsin 16009  cosccos 16010  tanctan 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017
This theorem is referenced by:  tanadd  16112  tanregt0  26055
  Copyright terms: Public domain W3C validator