Proof of Theorem tanaddlem
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | coscl 16163 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(cos‘𝐴) ∈
ℂ) | 
| 2 | 1 | ad2antrr 726 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ∈
ℂ) | 
| 3 |  | coscl 16163 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(cos‘𝐵) ∈
ℂ) | 
| 4 | 3 | ad2antlr 727 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ∈
ℂ) | 
| 5 | 2, 4 | mulcld 11281 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
∈ ℂ) | 
| 6 |  | sincl 16162 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(sin‘𝐴) ∈
ℂ) | 
| 7 | 6 | ad2antrr 726 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐴) ∈
ℂ) | 
| 8 |  | sincl 16162 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(sin‘𝐵) ∈
ℂ) | 
| 9 | 8 | ad2antlr 727 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐵) ∈
ℂ) | 
| 10 | 7, 9 | mulcld 11281 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))
∈ ℂ) | 
| 11 | 5, 10 | subeq0ad 11630 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
− ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))) =
0 ↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) | 
| 12 |  | cosadd 16201 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) | 
| 13 | 12 | adantr 480 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘(𝐴 +
𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) | 
| 14 | 13 | eqeq1d 2739 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) −
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵))) =
0)) | 
| 15 |  | tanval 16164 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐴) ≠ 0)
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) | 
| 16 | 15 | ad2ant2r 747 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) | 
| 17 |  | tanval 16164 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0)
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) | 
| 18 | 17 | ad2ant2l 746 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) | 
| 19 | 16, 18 | oveq12d 7449 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵)))) | 
| 20 |  | simprl 771 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ≠
0) | 
| 21 |  | simprr 773 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ≠
0) | 
| 22 | 7, 2, 9, 4, 20, 21 | divmuldivd 12084 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) | 
| 23 | 19, 22 | eqtrd 2777 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) | 
| 24 | 23 | eqeq1d 2739 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ (((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) =
1)) | 
| 25 |  | 1cnd 11256 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ 1 ∈ ℂ) | 
| 26 | 2, 4, 20, 21 | mulne0d 11915 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
≠ 0) | 
| 27 | 10, 5, 25, 26 | divmuld 12065 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) = 1 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) · 1)
= ((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) | 
| 28 | 5 | mulridd 11278 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) | 
| 29 | 28 | eqeq1d 2739 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) | 
| 30 | 24, 27, 29 | 3bitrd 305 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) | 
| 31 | 11, 14, 30 | 3bitr4d 311 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) =
1)) | 
| 32 | 31 | necon3bid 2985 | 1
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) ≠ 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) ≠
1)) |