Proof of Theorem tanaddlem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | coscl 15836 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(cos‘𝐴) ∈
ℂ) |
2 | 1 | ad2antrr 723 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ∈
ℂ) |
3 | | coscl 15836 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(cos‘𝐵) ∈
ℂ) |
4 | 3 | ad2antlr 724 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ∈
ℂ) |
5 | 2, 4 | mulcld 10995 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
∈ ℂ) |
6 | | sincl 15835 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(sin‘𝐴) ∈
ℂ) |
7 | 6 | ad2antrr 723 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐴) ∈
ℂ) |
8 | | sincl 15835 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(sin‘𝐵) ∈
ℂ) |
9 | 8 | ad2antlr 724 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐵) ∈
ℂ) |
10 | 7, 9 | mulcld 10995 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))
∈ ℂ) |
11 | 5, 10 | subeq0ad 11342 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
− ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))) =
0 ↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
12 | | cosadd 15874 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
13 | 12 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘(𝐴 +
𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
14 | 13 | eqeq1d 2740 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) −
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵))) =
0)) |
15 | | tanval 15837 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐴) ≠ 0)
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) |
16 | 15 | ad2ant2r 744 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) |
17 | | tanval 15837 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0)
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) |
18 | 17 | ad2ant2l 743 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) |
19 | 16, 18 | oveq12d 7293 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵)))) |
20 | | simprl 768 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ≠
0) |
21 | | simprr 770 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ≠
0) |
22 | 7, 2, 9, 4, 20, 21 | divmuldivd 11792 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) |
23 | 19, 22 | eqtrd 2778 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) |
24 | 23 | eqeq1d 2740 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ (((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) =
1)) |
25 | | 1cnd 10970 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ 1 ∈ ℂ) |
26 | 2, 4, 20, 21 | mulne0d 11627 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
≠ 0) |
27 | 10, 5, 25, 26 | divmuld 11773 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) = 1 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) · 1)
= ((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
28 | 5 | mulid1d 10992 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) |
29 | 28 | eqeq1d 2740 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
30 | 24, 27, 29 | 3bitrd 305 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
31 | 11, 14, 30 | 3bitr4d 311 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) =
1)) |
32 | 31 | necon3bid 2988 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) ≠ 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) ≠
1)) |