MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanaddlem 16114
Description: A useful intermediate step in tanadd 16115 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanaddlem (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) β‰  0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) β‰  1))

Proof of Theorem tanaddlem
StepHypRef Expression
1 coscl 16075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
21ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3 coscl 16075 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
43ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
52, 4mulcld 11239 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
6 sincl 16074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
76ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8 sincl 16074 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
98ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
107, 9mulcld 11239 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
115, 10subeq0ad 11586 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = 0 ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
12 cosadd 16113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
1312adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
1413eqeq1d 2733 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = 0 ↔ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = 0))
15 tanval 16076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
1615ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
17 tanval 16076 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΅) = ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅)))
1817ad2ant2l 743 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (tanβ€˜π΅) = ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅)))
1916, 18oveq12d 7430 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)) Β· ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅))))
20 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
21 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (cosβ€˜π΅) β‰  0)
227, 2, 9, 4, 20, 21divmuldivd 12036 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)) Β· ((sinβ€˜π΅) / (cosβ€˜π΅))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
2319, 22eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
2423eqeq1d 2733 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1 ↔ (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = 1))
25 1cnd 11214 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
262, 4, 20, 21mulne0d 11871 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) β‰  0)
2710, 5, 25, 26divmuld 12017 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) / ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = 1 ↔ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
285mulridd 11236 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))
2928eqeq1d 2733 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) Β· 1) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
3024, 27, 293bitrd 304 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ (((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1 ↔ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
3111, 14, 303bitr4d 310 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = 0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) = 1))
3231necon3bid 2984 1 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) β‰  0 ∧ (cosβ€˜π΅) β‰  0)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) β‰  0 ↔ ((tanβ€˜π΄) Β· (tanβ€˜π΅)) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  sincsin 16012  cosccos 16013  tanctan 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020
This theorem is referenced by:  tanadd  16115  tanregt0  26281
  Copyright terms: Public domain W3C validator