Proof of Theorem tanaddlem
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | coscl 15473 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(cos‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 2 | 1 | ad2antrr 724 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 3 | | coscl 15473 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(cos‘𝐵) ∈
ℂ) |
| 4 | 3 | ad2antlr 725 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ∈
ℂ) |
| 5 | 2, 4 | mulcld 10654 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
∈ ℂ) |
| 6 | | sincl 15472 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(sin‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 7 | 6 | ad2antrr 724 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 8 | | sincl 15472 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(sin‘𝐵) ∈
ℂ) |
| 9 | 8 | ad2antlr 725 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (sin‘𝐵) ∈
ℂ) |
| 10 | 7, 9 | mulcld 10654 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))
∈ ℂ) |
| 11 | 5, 10 | subeq0ad 11000 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
− ((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵))) =
0 ↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
| 12 | | cosadd 15511 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
| 13 | 12 | adantr 483 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘(𝐴 +
𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
| 14 | 13 | eqeq1d 2822 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) −
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵))) =
0)) |
| 15 | | tanval 15474 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐴) ≠ 0)
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) |
| 16 | 15 | ad2ant2r 745 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐴) =
((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴))) |
| 17 | | tanval 15474 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0)
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) |
| 18 | 17 | ad2ant2l 744 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (tan‘𝐵) =
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) |
| 19 | 16, 18 | oveq12d 7167 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵)))) |
| 20 | | simprl 769 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐴) ≠
0) |
| 21 | | simprr 771 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (cos‘𝐵) ≠
0) |
| 22 | 7, 2, 9, 4, 20, 21 | divmuldivd 11450 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((sin‘𝐴) /
(cos‘𝐴)) ·
((sin‘𝐵) /
(cos‘𝐵))) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) |
| 23 | 19, 22 | eqtrd 2855 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) =
(((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)))) |
| 24 | 23 | eqeq1d 2822 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ (((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) =
1)) |
| 25 | | 1cnd 10629 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ 1 ∈ ℂ) |
| 26 | 2, 4, 20, 21 | mulne0d 11285 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
≠ 0) |
| 27 | 10, 5, 25, 26 | divmuld 11431 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((sin‘𝐴)
· (sin‘𝐵)) /
((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵))) = 1 ↔
(((cos‘𝐴) ·
(cos‘𝐵)) · 1)
= ((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
| 28 | 5 | mulid1d 10651 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) |
| 29 | 28 | eqeq1d 2822 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵))
· 1) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) |
| 30 | 24, 27, 29 | 3bitrd 307 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ (((tan‘𝐴)
· (tan‘𝐵)) = 1
↔ ((cos‘𝐴)
· (cos‘𝐵)) =
((sin‘𝐴) ·
(sin‘𝐵)))) |
| 31 | 11, 14, 30 | 3bitr4d 313 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) = 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) =
1)) |
| 32 | 31 | necon3bid 3059 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧
((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧
(cos‘𝐵) ≠ 0))
→ ((cos‘(𝐴 +
𝐵)) ≠ 0 ↔
((tan‘𝐴) ·
(tan‘𝐵)) ≠
1)) |
