Theorem domneq0r 20968

Description: Right multiplication by a nonzero element does not change zeroness in a domain. Compare rrgeq0 20945. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domneq0r.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0r.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domneq0r.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domneq0r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domneq0r	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem domneq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domneq0r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domneq0r.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		domneq0r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		domneq0r.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20952	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		domneq0r.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 6, 8	ringlzd 20519	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
10	9	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
11		domneq0r.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 3	ring0cl 20489	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	6, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 11, 13, 7, 4	domnrcanb 20966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	10, 14	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  Ringcrg 20452  Domncdomn 20937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-nzr 20756  df-domn 20940

This theorem is used by:  r1pid2  26473