Theorem domneq0r 20640

Description: Right multiplication by a nonzero element does not change zeroness in a domain. Compare rrgeq0 20616. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domneq0r.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0r.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domneq0r.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domneq0r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domneq0r	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem domneq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domneq0r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domneq0r.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		domneq0r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		domneq0r.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20623	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		domneq0r.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 6, 8	ringlzd 20211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
10	9	eqeq2d 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
11		domneq0r.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 3	ring0cl 20183	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	6, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 11, 13, 7, 4	domnrcanb 20638	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	10, 14	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  Ringcrg 20149  Domncdomn 20608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-nzr 20429  df-domn 20611

This theorem is referenced by:  r1pid2  26074