Theorem domneq0r 20760

Description: Right multiplication by a nonzero element does not change zeroness in a domain. Compare rrgeq0 20736. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domneq0r.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0r.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domneq0r.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domneq0r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domneq0r	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem domneq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domneq0r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domneq0r.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		domneq0r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		domneq0r.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20743	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		domneq0r.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 6, 8	ringlzd 20331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
10	9	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
11		domneq0r.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 3	ring0cl 20303	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	6, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 11, 13, 7, 4	domnrcanb 20758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	10, 14	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899  {csn 4579  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Ringcrg 20269  Domncdomn 20728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-oppr 20372  df-nzr 20549  df-domn 20731

This theorem is referenced by:  r1pid2  26209